Integral

Question

He conjeturado la siguiente identidad para $n\geq0$ enteros: $$ \int_0^1 \ln(x)^n \operatorname{Ei}(x) \, dx = (-1)^{n+1}n! \cdot \left(-\operatorname{Ei}(1)+\sum_{k=1}^{n+1} {_kF_k}\left(\begin{array}c1,1,\dots,1\\2,2,\dots,2\end{array}\medio|\,1\right)\right), $$ donde $\ln$ es el logaritmo natural, $\operatorname{Ei}$ es la integral exponencial y ${_pF_q}$ es la función hipergeométrica generalizada.

Para $n=0$ $1-e+\operatorname{Ei}(1)$ $n=1$ $e-1-\gamma$ donde $e$ es la base del logaritmo natural, y $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante.

¿Cómo podemos demostrar esta identidad?

Answer 1

Podemos hacer los dos primeros casos integrando por partes y usando el hecho$$\text{Ei}(x) \sim \ln (x) + \gamma + \mathcal{O}(x) \ \text{as} \ x \to 0^{+}.$ $

Para el primero, tenemos

ps

Y para el segundo, tenemos

ps

ya que

ps