Un subconjunto especial de nilradical

Question

Para un anillo conmutativo y unitario$R$ y un% ideal $I$de$R$, supongamos que$\mathrm{Id}(I)$ es el ideal de$R$ generado por elementos idempotentes de% Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org Es bien sabido que $ \ mathrm {Nil} (R) = \ bigcap_ {P \ in \ mathrm {Spec} (R)} P$I$ R $ y si$ is the set of all nilpotent elements of $, entonces$e^2=e\in \mathrm{Nil}(R)$ Debe ser elemento cero. Ahora quiero saber si lo siguiente es cierto:

ps

Answer 1

Sí, esto es cierto. Tenga en cuenta que si $f\in\mathrm{Id}(P)$, entonces existe un idempotente $e\in P$ tal que $ef=f$ (desde un ideal generado por un número finito de idempotents es generado por un único idempotente). La fuga conjunto de $e$ es entonces un clopen subconjunto $U\subseteq\operatorname{Spec} R$ de manera tal que la restricción de $f$$U$$0$. Así que si $f\in\mathrm{Id}(P)$ todos los $P$, cada punto de $\operatorname{Spec} R$ tiene un barrio en el que $f$ restringe a $0$. Desde $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec} R}$ es una gavilla, esto implica $f=0$ como una sección global de $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec} R}$, es decir, como un elemento de $R$.

O si prefiere, para decirlo en lenguaje algebraico, el aniquilador de $f$ no puede ser contenida en cualquiera de primer ideal, ya que para cualquier $P$ el argumento anterior nos da un idempotente $1-e\not\in P$ que aniquila $f$. Así, el aniquilador de $f$ debe $R$, y, por tanto,$f=0$.