El Gaussiano foso problema y su extensión a otros anillos en $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$ y $\mathbb{O}$

Question

Uno de mis favoritos de los problemas abiertos en la teoría de números, un área en la que me gusta solo como un aficionado, es el Gaussiano foso problema, es decir,

"Es posible caminar hasta el infinito en $\mathbb{C}$, la adopción de medidas de longitud limitada, el uso de la Gaussiana primos como stepping stones?"

Podemos demostrar fácilmente que uno no puede lograr que caminar hasta el infinito el uso de los pasos de la limitada longitud de la línea real el uso de los números primos en $\mathbb{R}$. Para cualquier número natural $k$, considere la posibilidad de la $k-1$ números consecutivos

$$ k! + 2, k! + 3, \ldots k! + k, $$ todos los que están compuestos. Esta es otra manera de decir que hay arbitrariamente grandes diferencias en los números primos.

Para el Gaussiano de los números primos, no hay prueba computacional que un foso de longitud $\sqrt{26}$ existe, así que uno no puede caminar hasta el infinito el uso de los pasos de longitud $5$. Erdos se dice que han conjeturado que es imposible completar la caminata. Percolación teoría también sugiere que el pie es imposible, aunque, a mi entender, esta heurística supone que los números primos son completamente independientes de alguna manera.

Eisenstein enteros son números de la forma $a+b\omega$, con $a$, $b \in \mathbb{R}$, donde $\omega = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}$. Mi primera y principal pregunta es -

¿Cuál es el límite inferior para el tamaño de paso en el problema análogo de Eisenstein de los números primos?

Cuaterniones con todo entero componentes son llamados Lipshitz enteros. Así que vamos a llamar a los números primos a través de este anillo Lipshitz de los números primos. Un Lipshitz entero es sólo un Lipshitz prime si su norma es una de las principales. Se sabe algo de el foso problema por $\mathbb{H}$? Uno podría pensar que, dadas las dimensiones extra o grados de libertad de caminar hasta el infinito debería ser más fácil, sin embargo no estoy seguro de cómo de raro Lipshitz de los números primos.

Las respuestas a este post señalar que la factorización sobre octonions no es única, por lo que es difícil llegar a un concepto de números primos $\mathbb{O}$.

Answer 1

Considere la posibilidad de un imaginario cuadrática campo $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ con clase número $1$. Podemos estimar la densidad de los números primos dentro de una región de simetría delimitada por una elipse definida por la norma de menos de un determinado radio de $R$, utilizando la siguiente:

Considere la posibilidad de una forma cuadrática fundamental con discriminante $\delta$ de la clase número $1$. Una prima es expresable como una forma cuadrática si y sólo si $\left(\frac{p}{\delta}\right)=1$. Entonces, debido al hecho de que un elemento $\pi\in\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$ en el anillo de enteros de una ecuación cuadrática campo es primo si y sólo si su norma $N(\pi)$ es primo, podemos estimar el número de números primos contenida dentro de una región de la simetría como $\sum_{(u/p) = 1}\pi_u(R^2)$ donde $\pi_u(x)$ es similar a la primer función de conteo con la restricción adicional de que $\bar{p}=\bar{u}$ ($\mathbb{Z}/\delta\mathbb{Z}$).

Utilizando el Primer Número y Teorema de Dirichlet del teorema, resulta que este es asintótica a $R^2/4\log R$ para todos imaginario cuadrática de los campos de número de la clase $1$.

Estas estimaciones de densidad puede arrojar luz sobre cómo los análogos de la Gaussiana foso problema en el imaginario cuadrática campos con número de clase 1 debe comportarse. Un muy general heurística es que los más pequeños de la discriminante, el más usted puede conseguir con un foso de tamaño, ya que hay menos algebraica de los números enteros dentro de una distancia fija, por lo que hay también es probable que menos de los números primos. En mi papel (http://arxiv.org/abs/1412.2310) me derivan resultados computacionales (similar a lo que Gethner había hecho) el uso eficiente de teoría de grafos algoritmo en cierto imaginario cuadrática campos, y los datos parecen corroborar lo que se deriva de arriba. Por ejemplo, con un tamaño de paso de $k$, usted puede saltar a la más lejana en el de Eisenstein de los números primos, $\mathbb{Z}[e^{i\pi/3}]$, el lado más lejano en el Gaussiano primos $\mathbb{Z}[i]$, y la menos lejana en el de los números primos de $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$. Los datos de $\mathbb{Z}\left[\tfrac{-1+\sqrt{-7}}{2}\right]$ es ligeramente más extrañas en comparación con estos otros tres anillos, pero tal vez comparando con el resto de IQFs daría algo interesante.

En cuanto a tu pregunta, yo era capaz de mostrar que con un tamaño de paso de en la mayoría de las $\sqrt{12}$, el más lejano que uno puede viajar en las Eisenstein de los números primos es el punto de $20973+3518e^{i\pi/3}$, que está a una distancia de alrededor de $19454.05$ desde el origen. Sin embargo, basado en Erdős la conjetura de que existen arbitrariamente grandes fosos entre los primos de Gauss, creo que es razonable conjeturar que la misma tiene en el otro imaginario cuadrática campos así debido a la heurística descrito anteriormente.

Una interesante generalización yo también pose (pero no examinar) no limitarnos a elementos principales: Si $S$ es un conjunto de enteros positivos definidos por una norma particular (en nuestro caso, los números primos) y $T=\{\alpha\in\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}, d<0:N(\alpha)\in S\}$, ¿cómo fosos en $T$ comportarse? Tampoco hay necesidad de limitarnos a la clase número $1$ (o incluso imaginario cuadrática campos; podríamos considerar el primer ideales en real imaginario cuadrática campos -- pero la geometría es extraño en estos dominios, o más en general, en fosos, en los dominios de Dedekind, etc.), y se podía ver cómo el foso que los resultados pueden variar a través de los campos con diferentes números de clase.

Answer 2

Bueno, a ver ESTO para empezar. Ellen Gethner consiguió atraído a Gaussiano fosos muy temprano en su carrera. Stark es la misma persona que Heegner-Stark-Baker.

Voy a ver lo que podría estar disponible en Eisenstein fosos. Hubo una pregunta sobre cuaterniones fosos en MO.