$\frac{xy}{z+1}+\frac{yz}{x+1}+\frac{zx}{y+1}$ es un entero

Question

Que $x$ ser un entero positivo. ¿Siempre existe enteros $y,z$ tales que la suma $$\frac{xy}{z+1}+\frac{yz}{x+1}+\frac{zx}{y+1}$ $ es un número entero, pero ninguno de los tres términos de la suma es un entero?

Por ejemplo: tomar $x=1$. Entonces necesitamos la suma $$\frac{y}{z+1}+\frac{yz}{2}+\frac{z}{y+1}$$ to be an integer, with $ y,z$ odd and $\frac{y}{z+1},\frac{z}{y+1}$ non-integers. We can take $y=z=3$.

$x=2$ Esto se convierte en $\frac{2y}{z+1}+\frac{yz}{3}+\frac{2z}{y+1}$, y podemos tomar $y=z=2$.

En general, si tomamos $y=z$ tenemos la suma %#% $ #%

Answer 1

Que $y=z=2x(x+1)-1$. Entonces $ \frac{xy}{z+1}=\frac{zx}{y+1}=x-\frac{1}{2(x+1)} $ y $$ \frac{yz}{x+1}=4x^2(x+1)-4 x + \frac {1} {x + 1}. $$ $x+1\geq2$, Ni unos ni otros de éstos son enteros, pero $$ \frac{xy}{z+1}+\frac{yz}{x+1}+\frac{zx}{y+1}=4x^2(x+1)-2 x $$ es un número entero.