ACTUALIZADO CON LA RESPUESTA:
Por favor, que me ayude a resolver la siguiente ecuación diferencial utilizando la transformada de Laplace: $$y''+y'+y=0;y(0)=4,y'(0)=-3$$
Mi respuesta hasta el momento: $$\mathcal{L}\{y''\} + \mathcal{L}\{y'\} + \mathcal{L}\{y\}=0$$ Sabemos que $\mathcal{L}\{y'\} = s\mathcal{L}\{y\}-y(o)$$\mathcal{L}\{y''\}=s\mathcal{L}\{y'\}-y'(0)$. Al sustituir esto en la ecuación, se convierte en $$s\mathcal{L}\{y'\}-y'(0)+s\mathcal{L}\{y\}-y(0)+\mathcal{L}\{y\}=0$$ $$s(s\mathcal{L}\{y\}-y(0))-y'(0)+s\mathcal{L}\{y\}-y(0)+\mathcal{L}\{y\}=0$$ $$s^2\mathcal{L}\{y\}-sy(0)-y'(0)+s\mathcal{L}\{y\}-y(0)+\mathcal{L}\{y\}=0$$ Al sustituir los valores de las condiciones iniciales de la ecuación se convierte en $$s^2\mathcal{L}\{y\}-4s+3+s\mathcal{L}\{y\}-4+\mathcal{L}\{y\}=0$$ La solución para $\mathcal{L}\{y\}$: $$\mathcal{L}\{y\}(s^2+s+1)-4s+3-4=0$$ $$\mathcal{L}\{y\}(s^2+s+1)=4s+1$$ $$\mathcal{L}\{y\}=\frac{4s+1}{s^2+s+1}$$ Modificar el numerador y el denominador para obtener el formulario similar al de uno de ellos en la transformada de Laplace de la tabla. Primero aplicar el método de completar el cuadrado para el denominador: $$\frac{4s+1}{s^2+s+1} = \frac{4s+1}{(s^2+s+\frac{1}{4})+(1-\frac{1}{4})}=\frac{4s+1}{(s+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$$ A continuación, modificar el numerador: $$\frac{4s+1}{(s+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{4s+2-1}{(s+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{4(s+\frac{1}{2})-1}{(s+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$$ Dividir las fracciones: $$\mathcal{L}\{y\}=\frac{4(s+\frac{1}{2})}{(s+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}-\frac{1}{(s+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$$
Tomando la inversa de la transformada de Laplace de $\mathcal{L}\{y\}$ y $y$. Entonces la ecuación se convierte en $$y=4\mathcal{L}^{-1}[\frac{(s+\frac{1}{2})}{(s+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2)}] - \mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{(s+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}]$$
La inversa de la primera fracción es: $$4e^{\frac{-1x}{2}}\cos(\frac{\sqrt3x}{2})$$
Para que coincida con la segunda fracción a una de las formas de la transformada de Laplace de la tabla, tenemos que multiplicar el numerador y el denominador por $\frac{\sqrt3}{2}$. Entonces se convierte en: $$\frac{2}{\sqrt3}\mathcal{L}^{-1}[\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{(s+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}]$$ Por lo tanto, la inversa de la segunda fracción es: $$\frac{2}{\sqrt3}e^{\frac{-1x}{2}}\sin(\frac{\sqrt3x}{2})$$ RESPUESTA FINAL: $$y=4e^{\frac{-1x}{2}}\cos(\frac{\sqrt3x}{2})+\frac{2}{\sqrt3}e^{\frac{-1x}{2}}\sin(\frac{\sqrt3x}{2})$$ //
