Muelle no lineal $F=-kx^3$

Question

Un muelle no lineal cuya fuerza de restauración viene dada por $F=-kx^3$ donde $x$ es el desplazamiento desde el equilibrio , se estira una distancia $A$ . Unido a su extremo hay una masa $m$ . Calcular....(puedo hacerlo) ..supongamos que se aumenta la amplitud de oscilación, ¿qué ocurre con el periodo?

Esto es lo que pienso: Si se aumenta la amplitud el muelle posee más energía total, en el equilibrio el muelle viaja más rápido que antes porque posee más energía cinética. Creo que en el resorte viaja más rápido cuando está a un desplazamiento similar del equilibrio, pero tiene que recorrer más distancia, así que no puedo concluir nada.

Estaba pensando en resolver,

$$mx''=-kx^3$$

Pero me di cuenta de que es un trabajo muy duro.

¿Alguna idea?

Answer 1

La energía potencial es $U\left(x\right) = kx^4/4$ desde $-d/dx\left(kx^4/4\right) = -kx^3 = F$ y la energía $$ E = \frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \frac{1}{4}kx^4 $$ se conserva.

De lo anterior se deduce que $$ \begin{eqnarray} dt &=& \pm \ dx \sqrt{\frac{m}{2E}}\left(1-\frac{k}{4E}x^4\right)^{-1/2} \\ &=& \pm \ dx \sqrt{\frac{2m}{k}} \ A^{-2} \left[1-\left(\frac{x}{A}\right)^4\right]^{-1/2} \end{eqnarray} $$ donde la amplitud $A = \left(4E / k\right)^{1/4}$ se puede encontrar a partir de la configuración $dx/dt = 0$ en la expresión de la energía y resolviendo para $x$ .

El período es entonces $$ \begin{eqnarray} T &=& 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \ A^{-2} \int_0^A dx \left[1-\left(\frac{x}{A}\right)^4\right]^{-1/2} \\ &=& 4 \sqrt{\frac{2m}{k}} \ A^{-1} \int_0^1 du \left(1-u^4\right)^{-1/2} \\ &=& \left(4 \sqrt{\frac{2m}{k}} I\right) A^{-1} \\ &\propto& A^{-1} \end{eqnarray} $$ donde $u = x/A$ y $I = \int_0^1 du \left(1-u^4\right)^{-1/2} \approx 1.31$ (véase este ).

Puedes repetir lo anterior para una energía potencial más general $U\left(x\right) = \alpha \left|x\right|^n$ donde debería encontrar que

$$ dt = \pm \ dx \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \ A^{-n/2} \left[1-\left(\frac{\left|x\right|}{A}\right)^n\right]^{-1/2} $$

y

$$ \begin{eqnarray} T_n &=& \left(4 \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} I_n\right) A^{1-n/2} \\ &\propto& A^{1-n/2} \end{eqnarray} $$

donde

$$ I_n = \int_0^1 du \left(1-u^n\right)^{-1/2} $$

puede evaluarse en términos de funciones gamma (véase este ).

Esto concuerda con lo anterior para $\alpha = k/4$ y $n=4$ y con la de Landau y Lifshitz Mecánica el problema 2a de la sección 12 (página 27), donde constatan que $T_n \propto E^{1/n-1/2} \propto A^{1-n/2}$ .

Answer 2

Puede utilizar el análisis dimensional para obtener la relación entre el periodo de tiempo (T) y la amplitud (A).

$$F=-kx^3$$

$$MLT^{-2} = K L^3$$

Esto implicaría que $T^{-2}\propto L^2$ es decir $TL=$ Constante

$T$ es inversamente proporcional a $L$

$L$ también puede tomarse como amplitud.