Que $|A|$ es un entero múltiplo de 125

Question

Deje A = $(a_{ij})\in M_{4\times4}(\mathbb Q)$ ser una matriz cada entrada de la que es -2 o 3. Que $|A|$ es un entero múltiplo de 125.

¿Lo mejor sería mirar el $2\times 2$, determinantes menores, o hay alguna manera mejor?

Answer 1

Sugerencia: Trate de probar el análogo para la declaración de $n\times n$ matrices (que el determinante es divisible por $5^{n-1}$) por inducción en $n$. Usted puede comenzar con un ejemplo específico de $A$ donde se sabe que el determinante es $0$, y, a continuación, considere lo que sucede cuando se cambia una entrada de $A$ en un momento.

Una prueba plena se oculta a continuación:

Podemos demostrar por inducción sobre $n\geq 1$ que si $A\in M_{n\times n}(\mathbb{Z})$ tiene todas las entradas o bien $3$ o $-2$, $\det(A)$ es divisible por $5^{n-1}$. El caso de $n=1$ es trivial. Deje $n>1$, y supongamos que el enunciado es verdadero para $n-1$. En primer lugar, tenga en cuenta que la declaración es trivialmente cierto para la matriz $A_0$ todos de cuyas entradas se $-2$, ya que el $\det(A_0)=0$. Ahora me dicen que si $A$ es una matriz y $\det(A)$ es divisible por $5^{n-1}$ $A'$ se obtiene mediante el cambio de una entrada de $A$$-2$$3$, $\det(A')$ es también divisible por $5^{n-1}$. De hecho, la informática, la $\det(A')$ el uso de menores de edad, la diferencia entre el $\det(A')$ $\det(A)$ es sólo $\pm 5$ (la diferencia entre los valores del cambio de entrada) veces el $(n-1)\times(n-1)$ menor correspondiente al cambio en la entrada. Por la hipótesis de inducción, este menor es divisible por $5^{n-2}$, y así el producto es divisible por $5^{n-1}$. Por lo tanto $\det(A')$ también debe ser divisible por $5^{n-1}$. Ahora cada matriz $A$ cuyas entradas son todas las $-2$ o $3$ puede ser obtenida a partir de a $A_0$ por el cambio de una entrada en un tiempo de$-2$$3$, por lo que esta muestra $\det(A)$ es divisible por $5^{n-1}$ para cualquier matriz.

Answer 2

$A$ puede ser escrito como %#% $ #% donde $$A = B + 5C,$ es la matriz con sólo entradas $B$ y $-2$ $C$ o $1$ entradas. $0$ puede ser escrito como $B$ $ que $$B = \pmatrix{1\\1\\ \vdots \\1} (-2 -2 \dots -2) = a b^t.$el % es inversible iff $A$ es invertible y el caso $C$ no invertible es trivial, por lo que suponemos que $A$ es invertible.

$C$ $ El primer término claramente es un múltiplo de $$\det(A) = \det(5 C)( 1 + b^t \frac{C^{-1} }{5}a)=5^n \det(C)(1 + b^t \frac{C^{-1}}{5}a) = 5^n \det(C) + 5^{n - 1}b^t det(C)C^{-1}a $ $5^{n-1}$ es un entero. Para el segundo, se nota que $\det(C)$ sólo tiene entradas de entero así $\det(C) C^{-1} = adj(C)$ es un entero.

Answer 3

Reducir todas las entradas del modulo 5 y se verá que cada entrada es de $3 \pmod 5$. Eso significa que el determinante de $2\times 2$ de este tipo es $0 \pmod 5$ es decir, es divisible por 5. Que en vueltas significa que el determinante de la $3 \times 3$de % de este tipo es divisible por $25$ (expansión de la fila 1 por ejemplo) así que en general el determinante de orden $n$ es divisible por $5^{n-1}$