¿Existe un sistema de coordenadas en el que un punto se defina con dos ángulos?

Question

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto se define con dos distancias. En un sistema de coordenadas polares, un punto se define con una distancia y un ángulo. ¿Existe algún sistema de coordenadas en el que un punto se defina con dos ángulos?

Edición: Tiene que definir todos los puntos del plano de coordenadas, no sólo los puntos de una esfera con un radio fijo.

Answer 1

Sí, hay infinitos. Un ejemplo, para el espacio 3d:

En realidad, un sistema de coordenadas no es más que una función que asigna coordenadas a puntos en un sistema de coordenadas cartesianas.

Por ejemplo, el sistema de coordenadas polares 2D es una función que mapea los puntos dados por $\begin{bmatrix}r \\ \omega \end{bmatrix}$ a $\begin{bmatrix} r \cdot \cos(\omega) \\ r \cdot \sin(\omega) \end{bmatrix}$ .

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En el espacio 2D, se pueden asignar 2 ángulos a los puntos del plano definiendo, por ejemplo, su ángulo desde el punto $(-1, 0)$ y de $(1, 0)$ :

En este ejemplo, mapeamos los puntos del plano real 2D por dos ángulos reales.

Este sistema tiene el inconveniente de que no se pueden representar los puntos del $x$ eje: todos ellos tendrían $0$ o $\pi$ como sus coordenadas.

Answer 2

En las aplicaciones de seguimiento de objetivos, es posible que un misil se dirija hacia la base y que dos radares midan el rumbo del misil. En ese caso, la ubicación del misil se parametriza mediante las mediciones de marcación de dos radares.

Véase mi tosco diagrama en el que los círculos son radares y el rombo, misiles.

Answer 3

Para cualquier punto de una superficie bidimensional, independientemente del espacio en el que esté inmerso, se pueden asignar coordenadas utilizando sólo dos números. En el caso de una superficie como una esfera (que en realidad es sólo bidimensional; si se tiene un radio fijo, cualquier punto de la superficie puede identificarse utilizando algún análogo de la latitud y la longitud, que a su vez son sólo un sistema de coordenadas bidimensional que utilizamos en la superficie de la Tierra).

Creo que una pregunta interesante es ¿qué es necesario para definir un ángulo en un espacio? ¿Cómo definirías un ángulo en dimensiones superiores?

Answer 4

En un sistema de coordenadas 2D, se podría utilizar el ángulo desde un único punto fijo en el plano z (donde z != 0), y definir los dos ángulos que forma en los ejes x e y, aunque esto parece arbitrario dado que también se pueden dar las coordenadas x e y.

Esto le permite evitar el problema de no poder definir puntos en la tangente, ya que un punto con un valor z diferente no tiene tangentes a ninguno de los puntos del plano z=0.

Answer 5

Podría utilizar coordenadas polares esféricas como otros han sugerido para definir puntos en una cáscara esférica, a continuación, utilizar Proyección estereográfica para proyectar los puntos de la mitad inferior de esa esfera sobre el plano. Especialmente ver la imagen en la parte superior de esa página para un poco de intuición (que por alguna razón no puedo incluir en esta respuesta).

En realidad, se trata de la respuesta de Tex Andersen con (posiblemente) algo de intuición añadida: Acabas midiendo ángulos entre el origen y el punto de interés desde un punto del eje z; concretamente, ese punto es el centro de la esfera.

Después de hacer los cálculos, utilizando polares esféricos estándar, se obtiene la siguiente expresión para convertir de nuevo a cartesiano. Aquí estoy usando la notación matemática ( $\varphi$ para el ángulo polar y $\theta$ para el ángulo azimutal), y estoy midiendo el ángulo polar desde la parte inferior de la esfera en lugar de la parte superior para simplificar las ecuaciones (de lo contrario, tendría que sustituir $\varphi$ con $\pi-\varphi$ ).

$\begin{bmatrix} \cos(\theta) \tan(\varphi) \\ \sin(\theta) \tan(\varphi) \end{bmatrix}$ donde $\theta\in[0,2\pi),\,\varphi\in[0,\pi)$

Una idea relacionada es hacer esto dos veces: una con la proyección del punto sobre el $x$ -y una vez con la proyección sobre el eje $y$ -Eje. Cada vez que se obtiene un $\theta$ y un $\varphi$ pero los dos $\theta$ s están garantizados $0$ y $\pi/2$ respectivamente, así que puedes ignorarlas. Esto te da dos ángulos que están relacionados con el cartesiano por la expresión:

$\begin{bmatrix} \tan(\varphi_x) \\ \tan(\varphi_y) \end{bmatrix}$ donde $\varphi_x, \varphi_y\in[0,\pi)$