Los polinomios racionales de grado par deben alcanzar algunos valores racionales dos veces?

Question

Si $P$ es un polinomio, con coeficientes racionales y de grado par, ¿existen racionales arbitrariamente grandes $y$ tal que $P(x)=y$ tiene dos raíces en los racionales?

Lo complicado, supongo, es demostrar que los polinomios sin eje de simetría, que no pueden describirse como $Q(ax^2+bx+c)$ se ajustan a este criterio. Pero no tengo ni idea de si es cierto en absoluto.

Answer 1

No creo que la pregunta sea fácil, y no tengo una respuesta, pero sospecho que la respuesta es "no, no necesariamente".

Como caso de prueba, consideremos el polinomio

$$P(x) = x^4 + 2x\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\;\,$$

Basándome en pruebas limitadas, no creo que haya cualquier número racional $y$ tal que $P(x) = y$ tiene más de una raíz racional.

Para demostrar la afirmación

\begin{align*} &\text{There is no rational number}\;y\;\text{such that the equation} \qquad\;\;\;\;\;\\[4pt] &\qquad P(x) = y\\[4pt] &\text{has more then one rational root}\\[4pt] \end{align*}

bastaría para probar la afirmación

\begin{align*} &\text{There is no rational number}\;a\;\text{such that the polynomial}\qquad\;\;\,\\[4pt] &\qquad Q(x) = \frac{P(x)-P(a)}{x-a}\\[4pt] &\text{has a rational root}\\[4pt] \end{align*}

Así, para el caso $P(x) = x^4 + 2x$ después de dividir el factor común de $(x-a)$ obtenemos

$$Q(x) = x^3+ax^2+a^2x+(a^3+2)\qquad\qquad\qquad\qquad\;\,$$ Así que tal vez continuar tratando de demostrar que no hay ningún número racional $a$ tal que el polinomio cúbico $Q(x)$ como se ha definido anteriormente, tiene una raíz racional.