¿Mover la diferenciación desde el interior, al exterior de una integral, cambiará el resultado?

Question

Me interesa el potencial de esta técnica. La idea la saqué de la respuesta de Morón a esta pregunta que utiliza la técnica de la diferenciación bajo la integral.

Ahora, me gustaría considerar esta integralidad:

$$\int_{-\pi}^\pi \cos{(y(1-e^{i\cdot n \cdot t}))}\mathrm dt$$

Me gustaría diferenciar con respecto a y. Esto dará la integral:

$$\int_{-\pi}^\pi -(1-e^{i\cdot n \cdot t})(\sin{(y(1-e^{i\cdot n \cdot t}))}\mathrm dt$$

...si estoy en lo cierto. De todos modos, estoy interesado en obtener los resultados de esta segunda integral, utilizando esta técnica. Así que me pregunto si la resolución de la primera integral puede ayudar a dar resultados para la segunda integral. Estoy pensando en establecer $y=1$ en la segunda integral. Esto debería eliminar $y$ del resultado, y dame la integral que implica $x$ .

El problema es que no estoy seguro de poder utilizar la técnica de la diferenciación bajo la integral. Quiero saber cómo puedo aplicar esta técnica a las integrales anteriores. Se agradece cualquier indicación.

Por ejemplo, ¿para qué valores de $y$ ¿es esto válido?

Answer 1

La Wikipedia no parece tener una declaración precisa de este teorema. Aquí hay una declaración muy general.

Teorema (Diferenciación bajo el signo integral): Dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ y que $E$ sea un espacio de medidas (que se puede tomar libremente como cualquier subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ si quieres). Deje que $f : U \times E \to \mathbb{R}$ tienen las siguientes propiedades:

• $x \mapsto f(t, x)$ es integrable para todo $t$ ,
• $t \mapsto f(t, x)$ es diferenciable para todo $x$ ,
• para alguna función integrable $g$ para todos $x \in E$ y para todos $t \in U$ ,

$$\left| \frac{\partial f}{\partial t}(t, x) \right| \le g(x).$$

Entonces la función $x \mapsto \frac{\partial f}{\partial t}(t, x)$ es integrable para todo $t$ . Además, la función $F : U \to \mathbb{R}$ definido por

$$F(t) = \int_E f(t, x) \mu(dx)$$

es diferenciable, y

$$F'(t) = \int_E \frac{\partial f}{\partial t}(t, x) \mu(dx).$$

En la práctica, la única condición que no es fácil de satisfacer es la tercera. En este caso se cumple, así que no hay problema (para todos los $y$ ).

Answer 2

El teorema general que Qiaochu Yuan ha formulado anteriormente se encuentra en el Alemán y Francés Wikipedias con pruebas.

También dan enlaces a alguna bibliografía, pero el libro francés no he podido encontrarlo, mientras que en los libros alemanes no he encontrado la afirmación en su generalidad.