Que $A^2 = I$. Demostrar que $A = I$ si son de todos valores propios $A$ $1$

Question

Necesita ayuda con esto: deje $A^2 = I$ y los valores propios de $A$ $1$ son. Demostrar que $A = I$. ($A$ es sobre los complejos)

Pensé que porque $A^2=I$, entonces el $A$ $A^{-1} = A$ y reversible, y hay sólo dos matrices que hacer esto: la matriz identidad y la matriz cero.
Pero es solo intuición y no podía demostrar que.

Answer 1

Tenemos $(A+I)(A-I)=0$. Desde $-1$ no es un valor propio, $A+I$ es invertible y así $A-I=0$.

Answer 2

Si son todos los valores propios de $A$ $(-1)^n(x-1)^n$ es igual a 1, entonces su polinomio característico y su polinomio mínimo es de la forma $(x-1)^m$, $m\le n$. Puesto que el polinomio $p(x)=x^2-1$ aniquila $A,$ luego entonces el polinomio mínimo divide el polinomio $p$, y por lo tanto el polinomio mínimo de $A$ $q(x)=x-1$.

Por lo tanto, $A-I=0$.