Cuál es el mayor % positivo $n$que $n^3+100$ es divisible por $n+10$

Question

Cuál es el mayor % positivo $n$que $n^3+100$ es divisible por $n+10$

Traté de factorizar $n^3+100$ y $100$ no es un cubo perfecto. Me gustaría que fueron $1000$.

Answer 1

Por la división nos encontramos con que $n^3 + 100 = (n + 10)(n^2 − 10n + 100)−900$.

Por lo tanto, si divide a $n +10$ $n^3 +100$, entonces debe también dividir $900$. Ya que estamos en busca de mayor $n$, $n$ se maximiza cuando $n + 10$ es, y puesto que es el divisor más grande de $900$ $900$, debemos tener $n + 10 = 900 \Rightarrow n = 890$

Es el mayor $n$ $890$

Answer 2

% Toque $\rm\quad\ \ n+10\ |\ f(n) \iff n+10\ |\ f(-10),\ $para cualquier $\rm\:f(x)\in \mathbb Z[x],\ $ por el Teorema del Factor

i.e. $\rm\ mod\ n+10\!:\ n\equiv -10\ \Rightarrow\ f(n)\equiv f(-10)$

Answer 3

$$\begin{array}{r r c} \rm m=n+10: & \rm (m-10)^3+100 & \rm \equiv0 \;\bmod{m} \\ & \rm (-10)^3+100 & \rm \equiv0\; \bmod m \\ \times (-1) & 900 & \rm \equiv 0 \;\bmod m \\ \\ \hline \end{array}$$

$$\rm \max_m \{m:m|900\,\}=900 \implies n=890. $$