Como es sabido, la línea incluye sobre *CP* $^1$ son indexadas por los enteros. Mi pregunta es ¿cómo son los paquetes de la línea sobre *CP* $^n$, $n > 1$, y *Gr* $(n,k)$ indexadas? Además, ¿existen alguna otras clasificaciones interesantes de paquetes de línea por espacios (recuerdo algo acerca de Atiyah y curvas elípticas)?
Respuestas
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Algebraica de la línea de paquetes en una variedad lisa $X$ son clasificados por el grupo de Picard $Pic(X) = H^1(X, \mathbf O_X^*)$. Este es un ejercicio de Hartshorne del libro, básicamente cada línea de paquete es asignado pegado cocycle. El grupo $Pic(X)$ es también igual a la del grupo de $CH^1(X)$ de los divisores modulo racional de equivalencia. El mapa envía una línea de paquete a su primera clase de Chern.
Ahora para un espacio proyectivo Picard grupo es $\mathbf Z$ generado por $\mathbf O(1)$. Picard grupo de Grassmannian también es $\mathbf Z$. Yo creo que el generador es un retroceso de $\mathbf O(1)$ para una Desplumadora de incrustación $Gr(n,k) \subset \mathbf P^N$.
Uno puede demostrar de la siguiente manera: tanto en $\mathbf P^n$ $Gr(n,k)$ son algebraicamente celular, en el sentido de que consisten en piezas isomorfo a afín espacios: para $\mathbf P^n$ esto es obvio, y para $Gr(n,k)$ de las células son de Schubert de las células.
Para tales variedades Chow grupos coinciden con cohomology grupos y son generadas por las células (es como la informática cohomology de CW complejo sin las células de la extraña dimensión). Puesto que sólo hay una célula de complejo de codimension 1 para espacios proyectivos y Grassmannians, obtenemos $Pic(X) = H^2(X, \mathbf Z) = \mathbf Z$.
EDITAR:
En realidad, un espacio proyectivo ES un Grassmannian. :)
Como otras personas, comentó, el generador de la $Pic(Gr(n,k))$ es la n-esima de la cuña de poder de la canónica vector paquete de rango n.
Buggabill
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Algebraica de la línea de paquetes más generalizada de la bandera de variedades de semisimple grupos deben ser clasificable por parte de los personajes de la Cartan subgrupo del grupo de modulo el Cartan subgrupo de la semisimple parte de la parabólica, subgrupo. Esto es debido a que todos los paquetes a través de una generalizada de la bandera de la variedad son equivariant con respecto a la semisimple grupo de acción, por lo que corresponden a los personajes de la parabólica subgrupo (véase la respuesta de David). Para un Grassmannian Gr(n,k), mi conjetura es que la línea de los paquetes son indexados por los enteros, el generador de la línea de paquete de ser la k-ésima potencia exterior de la tautológica k-dimensional paquete. Espero que mejor que la gente educada vengan con referencias y/o correcciones a los de arriba.
Schof
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Como un compacto homogéneo Kahler colector de la Grassmannian es un coset espacio del lineal general del grupo por un máximo parabólico subgrupo. Homogénea de la línea de paquetes sobre la Grassmannian están en una correspondencia uno a uno con el carácter de las representaciones de la máxima parabólico, que son indexados por un número entero. De acuerdo a la Bott-Borel-teorema de Weil, el espacio de holomorphic secciones de la línea de paquete lleva una representación irreducible de la especial unitaria del grupo SU(n). En el caso de la Grassmannian Gr(n,k), estas representaciones correpond a los Jóvenes de los tableaux con k filas. El entero de la caracterización de la línea de lote es el número de columnas en este tableaux.
Arda Xi
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Si su pregunta es acerca de la línea del complejo haces hasta algebraica de isomorfismo, los paquetes son clasificados por el grupo de divisores](http://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_(algebraic_geometry) para cualquier variedad algebraica. También hay una única definición del grupo de los divisores para el buen variedades, como en su caso.
No es difícil ver que el grupo de los divisores de a $\mathbb P^n $ es generado por un hyperplane $H$. La observación clave es que una variedad definida por un polinomio homogéneo de grado $n$ racionalmente es equivalente a $n$ copias de $H$ (porque se puede deformar los coeficientes del polinomio de modo que se convierte en $x_1^n = 0$).
Por lo tanto, el complejo de la línea de bultos en cualquier $\mathbb P^n$ se clasifican por números enteros: $\mathcal O,\ \mathcal O(1),\ \mathcal O(2)$ etc.
Actualización: ver también la respuesta por Evgeny que explica las mismas cosas que yo, pero mejor.
Grassmannians tiene una celda de descomposición en Schubert_cells donde cada celda es sólo un espacio afín $\mathbb A^l$. Esta particular estructura simple significa que los divisores de hasta racional de equivalencia será el mismo que algebraicas de ciclos hasta racional de la equivalencia y de la misma como topológica $H^2$. Por otra parte, será generado por las células en el complejo de codimension uno.
Ahora es un ejercicio para averiguar a partir de la definición de Schubert células que hay sólo 1 celular con esta propiedad. A ver, fijará una bandera $(F_i), F_i\in V$. A continuación, la célula está determinado por las condiciones $$ \text{dim}\\, V\cap F_{n-k-1+i} = i \quad \text{for}\ 0\le i\le k$$ for subspaces $V$ of dimension $k$.
Por lo tanto, los bultos en $Gr(n, k)$ son también numerados con números enteros.
Techboy
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Primero de todo: esta es la de la "diferencial-punto de vista geométrico"
Si quieres "clasificar" vector de paquetes de chern clases son una herramienta muy útil. Así, puede suceder que dos paquetes son "diferentes", pero las clases de chern coincidir, pero si las clases de Chern de un par de vectores haces no está de acuerdo, entonces el vector de paquetes son diferentes.
En el caso de la línea de paquetes, el único no-trivial de chern de la clase es la primera clase de chern y resulta que la primera clase de chern es un completo invariantes que clasifica los complejos de la línea de paquetes. (En otras palabras: no es un bijection entre las clases de isomorfismo de la línea de paquetes de más de un espacio topológico $X$ y los elementos de $H^2(X;\mathbb{Z})$)
Pero tenga en cuenta: línea de paquetes puede tener el equivalente de primera clase de Chern, pero diferentes holomorphic estructuras. En este caso, ver los puestos de Evgeny,Ilya...
Suave línea real los paquetes son clasificados (de la misma manera) por la primera Stiefel-Whitney de la clase. Como en el caso complejo, el único no-desaparición de Stiefel-Whitney clase es $w_1$.
Para referencias ver: Wikipedia: Línea de paquete
Wikipedia: la clase de Chern
Wikipedia: Stiefel-Whitney clase
Milnor, Stasheff, Característico de las clases (búsqueda de libros de google link)
