Tenga en cuenta que en cada momento de observación posición ($i=1, 2, ..., n$) podemos elegir cualquiera de las $n$ observaciones, por lo que hay $n^n$ posible remuestrea (mantener el orden en el que están dibujados) de los cuales, $n!$ son de la "misma muestra" (es decir, contienen todos los $n$ observaciones originales sin repeticiones; esto en cuenta todas las formas de ordenar la muestra empezamos).
Por ejemplo, con tres observaciones, a,b y c, usted tiene 27 posibles muestras:
aaa aab aac aba abb abc aca acb acc
baa bab bac bba bbb bbc bca bcb bcc
caa cab cac cba cbb cbc cca ccb ccc
Seis de esos contener cada uno de a, b y c).
Por lo $n!/n^n$ es la probabilidad de obtener la muestra original de nuevo.
Dejando de lado una aproximación rápida de la probabilidad:
Considerar que:
$${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\ n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}\leq n!\leq e\ n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}}$$
so
$${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\ n^{{\frac {1}{2}}}e^{-n}\leq n!/n^n \leq e\ n^{{\frac {1}{2}}}e^{-n}}$$
With the lower bound being the usual one given for the Stirling approximation (which has low relative error for large $n$).
[Gosper has suggested using $n! \aprox \sqrt{(2n+\frac13)\,\pi}n^ne^{-n}$ which would yield the approximation $\sqrt{(2n+\frac13)\pi}\,e^{-n}$ for this probability, which works reasonably well down to $n=3$, or even down to $n=1$ depending on how stringent your criteria are.]
(Response to comment:) The probability of not getting a particular observation in a given resample is $(1-\frac{1}{n})^n$ which for large $n$ is approximately $e^{-1}$.
Para más detalles, ver
¿Por qué en promedio cada bootstrap de la muestra contienen aproximadamente dos tercios de las observaciones?
