¿Cómo probar que $\Bbb{Z}_p$ es un dominio integral?

Question

Ser de que $\Bbb{Z}_p$ $p$-números enteros adic por serie formal $\sum_{i\geq 0} a_i p^i$. Estoy teniendo problemas para demostrar que es un dominio integral.

Answer 1

El anillo de $p$-números enteros adic $\mathbb{Z}_p$ es el anillo de endomorfismos de $\mathbb{Z}(p^\infty)$ (Prüfer $p$-grupo).

Desde $\mathbb{Z}(p^\infty)$ es divisible, la imagen de un endomorphisme es divisible, pero son de los subgrupos sólo divisibles de $\mathbb{Z}(p^\infty)$ $\{0\}$ y $\mathbb{Z}(p^\infty)$, porque todos los subgrupos apropiados son finitos. Por lo tanto cada endomorphisme distinto de cero es sobreyectiva. Así $fg=0$, $g\ne0$ implica $f=0$.

Answer 2

Aunque la descripción de $\mathbb Z_p$ "formal de la serie" se asemeja a la potencia de la serie en $p$ tiene cierto atractivo, y fue parte de Hensel la motivación original, este no es un buen punto de vista desde el que conocer muchas de las propiedades que, como resulta.

Un relativamente primaria descripción es que $\mathbb Z_p$ es la métrica de la finalización de $\mathbb Z$ con respecto al $p$-ádico métrica $|a-b|_p$, donde el $p$-ádico norma $|a|_p$ $|p^n\cdot c|=p^{-n}$ por entero $c$ relativamente primer a $p$. Sí, el exponente tiene un signo flip, así que muy divisible por$p$ enteros son diminutas. (También se puede, tal vez mejor-en-el-largo plazo, describa $\mathbb Z_p$ como el proyectiva límite de $\mathbb Z/p^n$... lo que también muestra que proyectiva de los límites de ocurrir en la vida real, no sólo como artefactos... pero por lo general esto es demasiado "carga" en el punto de $p$-ádico cosas son introducidos.)

Desde este punto de vista, es mucho más factible para demostrar que no hay ningún cero divisores... (el uso de continuidad).

Answer 3

Los enteros p-adic son un anillo discreto de la valuación, es decir, con una valoración absoluta $\nu$. Por lo tanto, $0=ab$ significa $0=\nu(ab)=\nu(a)\nu(b)$ en los números verdaderos, que no hay divisores de cero, por lo tanto cualquier $\nu(a)=0$ o $\nu(b)=0$, es decir, $a=0$o $b=0$.

Answer 4

$\Bbb Z_p/p^n\Bbb Z_p\cong\Bbb Z/p^n\Bbb Z$, Para mostrar $a,b\ne0\Rightarrow ab\ne0$ basta para mostrar $ab\not\equiv0$mod $p^n$ suficientemente alta potencia %#% dado de $p^n$ #% (sugerencia de ver vadim en los comentarios).