Probar que la función es constante

Question

Demostrar que una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisface $$f\left({\frac{x+y}3}\right)=\frac{f(x)+f(y)}2$$ es una función constante.

Esta es mi solución: función constante han derivado $0$ para cualquier número, así que tengo que probar que $f'$ siempre $0$. Yo, primero se calculan $\frac{d}{dx}$ y, a continuación,$\frac{d}{dy}$: $$f'\left({\frac{x+y}3}\right)\frac13=\frac{f'(x)}2$$ $$f'\left({\frac{x+y}3}\right)\frac13=\frac{f'(y)}2$$ A partir de esto puedo ver que $\frac{f'(x)}2=\frac{f'(y)}2$. Multiplicando por $2$ e integrar tengo: $$f(x)=f(y)+C$$ para algunas constantes $C\in\mathbb{R}$. Por definición de $f$ es cierto para cualquier $x,y\in\mathbb{R}$, por lo que puedo escribir $$f(y)=f(x)+C$$ La adición de estas dos ecuaciones y simplificando tengo $$C=0$$ por lo $f(x)=f(y)$ todos los $x,y\in\mathbb{R}$. Es mi solución matemáticamente correcta. Es esto completa la prueba, o me he perdido algo?

Answer 1

Incluso no es necesario suponer que $f$ es continua.

1. Dejando $y = 2x$, podemos ver que $f(x) = f(2x)$
2. Dejando $y = -4x$, obtenemos $f(-x) = \frac{f(x) + f(-4x)}{2}$. Sin embargo, a partir de (1), $f(-4x) = f(-2x) = f(-x)$, para esto se simplifica a $f(-x) = f(x)$
3. Por último, vamos a $y = -x$ y la simplificación de los da $2f(0) = f(x) + f(-x)$. Sustituyendo en (2), esto se convierte en $f(0) = f(x)$. Ya que este tiene para todos los $x \in \mathbb{R}$, llegamos a la conclusión de que $f$ debe ser constante.

Answer 2

En la declaración también se aplica en el caso de nosotros sólo suponga que $f$ es continua (y no necesariamente diferenciable).

Supongamos que $f(x_0) \neq f(0)$ algunos $x_0 \in \Bbb R$. Tomamos nota de que $$ f \left( \frac{x_0 + x_0}{3} \right) = \frac{f(x_0) + f(x_0)}{2} \implica\\ f\left( \frac 23 x_0\right) = f(x_0) $$ A continuación, considere la secuencia de $\left( \frac 23\right)^n x_0 \to 0$.

Answer 3

Por desgracia, la solución es incorrecta en varias maneras.

Primero de todo, la formulación del problema no es correcta porque la ecuación no define una función de $f$. Lo que probablemente significa es: Demostrar que toda función en $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ satisfactorio (ecuación) es constante. También se necesita al menos la suposición de que $f$ es continua. De lo contrario, la afirmación no es verdadera.

Su método requiere la suposición de que $f$ es diferenciable. Pero incluso entonces, sólo muestran que $f'$ es constante, $f'(x)=f'(y)$ todos los $x,y\in \mathbb{R}$. Pero no se puede integrar esto a $f(x)=f(y)+C$. Más bien, una función lineal $f(x)=\alpha x+\beta$ tiene una constante de derivados así.

Answer 4

para todos los $x$ real \begin{array}{l} f\left( { - x} \right) = f\left( {\frac{{ - 2x - x}}{3}} \right) = \frac{{f\left( { - 2x} \right) + f\left( { - x} \right)}}{2} \\ \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = f\left( { - 2x} \right) \cdots \cdots \left( 1 \right) \\ f\left( 0 \right) = \frac{{f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)}}{2} \cdots \cdots \left( 2 \right) \\ f\space \text{is continuous at 0} \\and\\ \left( 1 \right)and\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = \frac{{f\left( x \right) + f\left( { - 2x} \right)}}{2} = f\left( { - x} \right) \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( {\frac{2}{3}x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n x} \right) \\ \Leftrightarrow f = \text{const} \\ \end{array}