Integrar la exponencial $\exp\left(-{(x-a)^2\over 2a}\right)$

Question

¿Cómo puedo mostrar que se puede aproximar $$\int_0^\infty\exp\left(-{(x-a)^2\over 2a}\right)dx$ $ por $$\sqrt{2\pi a} \,\,\,e^{-a}$$ when $a\to \infty$?

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Parece sospechosamente similar a $$e^{-a}\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-{t^2\over 2a}\right)dt$ $ (dado el resultado) pero no puedo ver cómo convertir la integral de esta forma, especialmente los límites parecen un poco problemáticos...

Por favor ayuda, gracias.

Answer 1

$$u=\frac{(x-a)}{\sqrt{2a}}\Longrightarrow du=\frac{1}{\sqrt {2a}}dx\Longrightarrow$$

$$\int\limits_0^\infty e^{\frac{-(x-a)^2}{2a}}\,dx=\int\limits_{-\sqrt\frac{a}{2}}^\infty e^{-u^2}du\sqrt{2a}$$

Pero

$$\lim_{a\to\infty}\int\limits_{-\sqrt\frac{a}{2}}^\infty e^{-u^2}du=\sqrt \pi$$

así que los límites anteriores parece ser $\,\infty\,$... Comprobar si esto ayuda de alguna manera, o si han escrito las expresiones correctas... o, por supuesto, si me equivoco.

Answer 2

No creo que esto es cierto. Si $a$ es enorme y positivo de la integral será de alrededor de $\sqrt{2 \pi a}$, ya que podemos tomar del límite inferior $-\infty$ sin cambiar mucho. Está usted seguro de la $e^{-a}$ plazo? Sin él, usted puede enlazado el error de hecho haciendo el límite inferior $-\infty$ porque $0$ $\sqrt a$ desviaciones estándar por debajo de la media.

Añadido: El $(x-a)^2$ en el numerador se desplaza el pico de la Gaussiana a $+a$. El $a$ en el denominador aumenta la desviación estándar $\sqrt a$. Se puede ver que al hacer el cambio de variable $t=\frac {x-a}{\sqrt a}$. Su integral se convierte en $\sqrt a\int_{-a}^\infty e^{-\frac {t^2}2}dt$. Ahora como $a \to \infty$, el límite inferior, que va mucho a la izquierda, así que no hay mucho en su área. El error en el cambio de límite inferior $-\infty$ se convierte en cero. Usted puede hacer esto explícito mirando a la distribución normal. Usted se $\sqrt a$ desviaciones estándar por debajo de la media. Esto da el resultado de que la integral se aproxima a $\sqrt {2 \pi a}$