Preguntas sobre las limitaciones y las condiciones de KKT

Question

Condiciones KKT de Wikipedia:

Consideremos el siguiente problema de optimización no lineal: $$ \text{Minimizar }\; f(x) $$ $$ \text {: } \ g_i(x) \le 0 , h_j(x) = 0 $$ The number of inequality and equality constraints are denoted $m$ and $l$, respectivamente.

Supongamos que el objetivo de la función $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $ and the constraint functions $g_i : \,\!\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ and $h_j : \,\!\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ are continuously differentiable at a point $x^*$ . Si $x^*$ es un mínimo local que cumplan algunas condiciones de regularidad, entonces existen constantes $\mu_i\ (i = 1,\ldots,m)$ y $\lambda_j\ (j = 1,\ldots,l)$, llamados multiplicadores de KKT, de tal manera que

La estacionariedad $$ \nabla f(x^*) + \sum_{i=1}^m \mu_i \nabla g_i(x^*) + \sum_{j=1}^l \lambda_j \nabla h_j(x^*) = 0, $$ Primal feasibility $$ g_i(x^*) \le 0, \mbox{ for all } i = 1, \ldots, m $$$$ h_j(x^*) = 0, \mbox{ para todo } j = 1, \ldots, l $$ Dual feasibility $$
\mu_i \ge 0, \mbox{ para todo } i = 1, \ldots, m $$ Complementarios desidia $$ \mu_i g_i (x^*) = 0, \mbox{para todo}\; i = 1,\ldots,m. $$

Me preguntaba:

1. ¿cómo serán las condiciones KKT cambio, si las restricciones de la desigualdad $g_i(x) \le 0$ son reemplazados con estricto de las desigualdades es decir $g_i(x) < 0$?
2. si la función de costo $f$ ya algunos implícito en la condición de $x$ por lo que puede ser bien definido, va implícita la condición de ser considerado como un explícito de restricción al escribir el KKT condiciones? Por ejemplo, $f(x)=x- \ln(x)$ requiere $x>0$. Se $x>0$ ser considerado como una restricción al escribir el KKT condiciones?

Gracias y saludos!

Answer 1

1. No tiene realmente sentido para optimizar las funciones lisas a través de conjuntos, porque entonces, usted debe reemplazar $\min$ $\inf$ y el valor óptimo no es necesariamente alcanzado. No hay condiciones KKT para abrir sets. Si usted se siente como el estricto desigualdades son lo que usted necesita, a veces es una indicación de que algo iba mal cuando el problema se modela.
2. La respuesta corta es no. De forma implícita, ya que el término $(-\ln(x)) \uparrow +\infty$ al $x \downarrow 0$, una solución de su problema no tiene ningún cero componente. El $\ln(x)$ plazo asegura en el sentido de que una solución mentira interior a $x \geq 0$. Esta estrategia es la base de su interior a punto de métodos donde la desigualdad restricciones son empujados hacia el objetivo en la forma de un término logarítmico. Por ejemplo, si usted está minimizando $f(x)$$x \geq 0$, puede resolver una secuencia de restricciones problemas con el nuevo objetivo $f(x) - \mu \sum_i \ln(x_i)$ donde $\mu > 0$ es un parámetro. Para un valor dado de a $\mu > 0$, se identificará (aproximado) de la solución de $x_{\mu}$. Ahora vamos a $\mu \to 0$. Si aproximado de sus soluciones son suficientemente precisos y si $\mu$ no disminuir demasiado rápido, se observa que el $x_{\mu} \to x_*$, una solución de la original, limitada, el problema. Esta $x_*$ puede estar sobre el límite de $x \geq 0$, pero se acercó al permanecer en el interior. Las condiciones KKT de la subproblem son simplemente eso $\nabla f(x) - \mu x^{-1} = 0$ donde $x^{-1}$ es el vector con componentes de $1/x_i$. La restricción $x > 0$ deben ser aplicadas de forma implícita aquí, por ejemplo, al rechazar a cualquier candidato de la solución a las condiciones KKT que tiene un componente $x_j \leq 0$. Pero no tiene un multiplicador de Lagrange.

Espero que esto ayude un poco.