Demostrar que $\Diamond\Box p \rightarrow \Diamond (\Box (p\land q) \lor \Box(p\land\neg q))$ no define una condición de primer orden en marcos

Question

Primero de todo, la lógica modal que estamos trabajando en este caso es el básico: es decir, todas las fórmulas proposicionales, además de las fórmulas de la forma $\Diamond\phi$ donde $\phi$ es cualquier fórmula modal (definimos $\Box\phi$$\neg\Diamond\neg\phi$).

Vamos a definir la satisfacción. Para ello, debemos definir los modelos de lógica modal. Dado $M=(F,V),F=(W,R)$ y un conjunto, $\Phi$, podemos decir $M$ es un modelo para la lógica modal basado en $\Phi$ si $W$ es un conjunto, $R\subseteq W\times W$, e $V$ es una función de$\Phi$$2^{W}$, es decir, que se asigna a cada elemento de a $\Phi$ a un subconjunto de a $W$. A partir de esto, también nos define (entre otras cosas) que $\Phi$ es el conjunto de letras proposicionales de la lógica, $F$ es un marco para la misma lógica modal y $V$ es una valoración en ese marco.

Ahora podemos proceder con la satisfacción de definición. Dado $w\in W$, podemos decir $M,w\Vdash \phi$, $M$ satisface $\phi$$w$, si se cumple lo siguiente: $\phi=p$ donde $p\in \Phi$ $w\in V(p)$ o $\phi=\neg \psi$ $M,w\nVdash \psi$ o $\phi=\psi\land\chi$ $M,w\Vdash\psi$ $M,w\Vdash\chi$ o $\phi=\Diamond \psi$ y existe $v\in W$ tal que $Rwv$$M,v\Vdash\psi$.

Entonces, podemos definir la validez. Decimos que $F\Vdash\phi$, $\phi$ es válido en $F=(W,R)$, si, para todos los $w\in W$ y todas las valoraciones $V$ en $F$, $(F,V),w$ satisface $\phi$.

Una fórmula modal $\phi$ define una clase de fotogramas $\textrm{F}$ si, para cada fotograma $F$, $F$ es en $\textrm{F}$ si y sólo si $F\Vdash\phi$, $\phi$ es válido en $F$. Una definición similar se aplica a la lógica de primer orden, obviamente reemplazando $\Vdash$$\vDash$. Decimos que una fórmula modal $\phi$ define un primer orden de la condición de $\psi$ si se defina exactamente la misma clase de marcos.

Como parte de esta pregunta, ya habíamos dado una pista sobre cómo proceder; se sabe que, en el marco de $(\{u\}\cup u \cup \mathbb{N}, \ni)$ donde $u$ es un no-director de ultrafilter en $\mathbb{N}$, $\Diamond\Box p \rightarrow \Diamond (\Box (p\land q) \lor \Box(p\land\neg q))$ es válido, y a la pregunta original, sugiere que usted debe establecer que en cualquier contables de la estructura de elementarily equivalente a la dada marco de la fórmula en realidad no es válido.

La prueba de que el primer hecho (fórmula es válida en el fotograma) no dar a conocer algunos intuición sobre cómo proceder: El paso crucial de dicha prueba se basa en cualquier subconjunto de a $\mathbb{N}$ (o su complemento) ser miembro de $u$ y $u$ es cerrado bajo la intersección, pero podemos esperar una contables de la estructura de la desaparición de varios de estos elementos, lo que permite que la fórmula para ser falsificados.

Por desgracia, no he sido capaz de convertir dijo la intuición en una prueba real. Hay una manera de hacerlo? O, como alternativa, hay un enfoque diferente a esta pregunta?

Answer 1

Compruebe que en su marco se puede describir en primer orden lenguaje que hay tres tipos de elementos: Los que no contienen ningún elemento (primer tipo), los que contienen elementos que no contienen elementos (segundo tipo) y un único elemento que contiene todos los elementos del segundo tipo (tercer tipo).

A continuación compruebe que por la vía de primer orden idioma que usted puede asegurarse de que los elementos del primer tipo son muchisimos, que todos los elementos del segundo tipo contiene una cantidad infinita de elementos y son cerrados bajo finito de uniones e intersecciones.

Ahora tome un marco de $(W,R)$ (voy a suponer que w.l.o.g. que $R$ "$\ni$ " para mejorar la notación un poco) elementarily equivalente a su marco original y asumir que es contable. Deje $A$ el conjunto de los contables de los elementos del primer tipo y deje $\{w_1,\ldots,w_n,\ldots\}$ el conjunto de los elementos del segundo tipo. A continuación, voy a construir una valoración tal que el elemento de la tercer tipo falsifica la fórmula.

Para hacer este pick $a_1,b_1\in w_1\cap A$ y deje $a_1\in V(q)$$b_1\notin V(q)$. Vamos a definir $A_1=A\setminus\{a_1,b_1\}$. Continuar inductivo: Supongamos que usted tiene una cofinite set $A_k$ y ha definido la valoración de los elementos de $A\setminus A_k$ tal que para cada a $m\leq k$ hay algunos $a,b\in A\setminus A_k$ tal que $a,b\in w_m$ $a\in V(q)$ mientras $b\notin V(q)$. Entonces a partir de la $w_{k+1}$ es infinita (primaria equivalencia) tenemos que $w_{k+1}\cap A_k$ es infinito. De ahí que podamos recoger $a_{k+1},b_{k+1}\in w_{k+1}\cap A_k$ y deje $a_{k+1}\in V(q)$ mientras $b_{k+1}\notin V(q)$ y deje $A_{k+1}=A_k\setminus\{a_{k+1},b_{k+1}\}$. También vamos a $V(p)=W$ y para definir $V(q)$ arbitrariamente en otro lugar (después de la inductivos de construcción).

Si $w$ es el único elemento del tercer tipo en el modelo que usted tiene que $(W,R,V),w\Vdash\diamondsuit\square p$ pero $(W,R,V),w\nVdash\diamondsuit(\square(p\land \lnot q)\lor\square(p\land q))$. Esto es debido a que para cada sucesor de $w$, hay un sucesor que satisface $q$ y uno que no.