¿Si me adjunto $\infty$ a los números verdaderos ($\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\infty$) existe una forma razonable para definir un $\sigma$-álgebra '$\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}$' que es igual al % de álgebra de Borel $\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}$$\infty$restringida a los sistemas que no contengan $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$? Si es así, ¿qué topología en $\overline{\mathbb{R}}$ induciría a $\mathcal{B}_{\overline{\mathbb{R}}}$?
Respuestas
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Lo puede hacer teniendo en cuenta los conjuntos de Borel del círculo unidad en el plano complejo. Esto es homeomorfa a la compactación de un punto de los números verdaderos, que es cómo uno debe mirar en $\overline{\mathbb R}$.
Se puede demostrar que los subconjuntos de Borel del círculo son simplemente conjuntos de Borel del plano de intersección con el círculo. También resulta que la álgebra de la sigma no es diferente de la de los números verdaderos.
user27515
Puntos
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En primer lugar observamos que a cualquier espacio topológico puede definir el $\sigma$-álgebra de sus conjuntos de Borel.
En general, dada cualquier espacio topológico $X$ y un subespacio $Y$ $X$ si $Y$ es un subconjunto de Borel $X$, la de los subconjuntos de Borel $Y$ (tomado como un espacio topológico en su propio derecho) son exactamente los subconjuntos de Borel $X$ lo que viene a ser subconjuntos de a $Y$.
Por lo general, uno se lleva a $\overline{\mathbb{R}}$ a ser el punto de compactifaction de $\mathbb{R}$ (como en el Asaf la respuesta y GEdgar del comentario). El abierto de subconjuntos de a $\overline{\mathbb{R}}$ sería entonces el abierto de subconjuntos de a $\mathbb{R}$, junto con todos los conjuntos de la forma $U \cup \{ \infty \}$ donde $\mathbb{R} \setminus U$ es compacto (en $\mathbb{R}$). A continuación, $\mathbb{R}$ es un abierto (de ahí Borel) el subespacio de $\overline{\mathbb{R}}$, y por lo tanto los subconjuntos de Borel $\overline{\mathbb{R}}$ que son subconjuntos de a $\mathbb{R}$ coinciden con los subconjuntos de Borel $\mathbb{R}$.
