Encontrar todas las $n$ tal que $3^{2n+1}+2^{n+2}$ es divisible por $7$

Question

Encontrar todos los $n$ tal que

es divisible por $3^{2n+1}+2^{n+2}$ $7$

Demostrar que su respuesta es correcta

Por lo que no estoy autorizado para usar mods, ya que es una cuestión de cálculo, han tratado por inducción, pero no puede llegar a probar que funciona $k+1$, multiplicando la ecuación por potencias de $2$ y $3$.

Gracias por su ayuda

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\begin{split} 3^{2(k+1)+1} + 2^{(k+1)+2} &= 9\cdot 3^{2k+1} + 2\cdot 2^{k+2}\\ &= 7 \cdot 3^{2k+1} + 2 (3^{2k+1} + 2^{k+2}). \end{dividido} $$

Answer 2

Deje $A_n=3^{2n+1}+2^{n+2}$, a continuación, usted encontrará que $A_{n+1}=11A_n-18A_{n-1}$

Justificación: Si $u_n=A\alpha^n+B\beta^n$ es fácil comprobar que $u_{n+1}=(\alpha+\beta)u_n-\alpha\beta u_{n-1}$.

Set $\alpha = 3^2=9, \beta=2$.

Se necesitan dos valores consecutivos para asegurar la persistencia del factor de $7$ (puedes utilizar $n=-1$ aunque el valor implica fracciones), lo que la hace menos atractiva en algunos aspectos que la inducción de argumentos con una sola base de caso. Sin embargo, esto también puede ser utilizado para construir otros ejemplos de la persistencia, y es rápido si usted está haciendo varias preguntas del mismo tipo.

Answer 3

$3^{2n+1}+2^{n+2}$ es divisible por $7$ % todo $n$:

$ 3 ^ {2n + 1} + 2 ^ {n + 2} = \\ = 3\cdot 9 ^ n + 4\cdot 2 ^ n\\ = 3\cdot (7 + 2) ^ n + (7 - 3) \cdot 2 ^ n\\ = 3 (7 + 2 ^ n) + 7\cdot2 ^ n-3\cdot 2 ^ n\\ =7(3a+2^n) $

donde he utilizado el teorema del binomio para obtener $(7+2)^n=7a+2^n$.

Answer 4

No está permitido utilizar mod, pero aquí está una prueba usando el mod:

$$3^{2n+1}+2^{n+2}=3\cdot 9^{n}+4\cdot 2^n$$

$$\equiv 3\cdot 2^n+4\cdot 2^n\equiv 7\cdot 2^n\equiv 0\pmod{7}$$

Answer 5

Pequeña pista: Tenga en cuenta que del teorema pequeño de Fermat que $2^6\equiv 1$ y $3^6\equiv 1$. Luego los restos de $3$ $\pmod 7$ son $$3,2,6,4,5$$ while the remainders of $2$ $\pmod 7$ are $$2,4,1$$ If $n=1$, $2^3\equiv 1$ and $3^3\equiv 6 $...