Problema de desigualdad de alumnos numeración

Question

Diez estudiantes están sentados alrededor de una fogata. Un profesor asigna aleatoriamente a cada alumno un número diferente de 1 a 10. Otro maestro asigna un nuevo número a cada estudiante con el requisito de que el nuevo número asignado a un estudiante es igual a la de los estudiantes número anterior más la suma de los dos números de sus vecinos. Demostrar o refutar: uno de los estudiantes debe tener un nuevo número ESTRICTAMENTE MAYOR que 17.

Lo que he hecho hasta ahora: es muy fácil demostrar que uno de los estudiantes debe tener un nuevo número estrictamente mayor que 16. Esto puede hacerse suponiendo que cada uno de los números es menor o igual a 16. Un boceto rápido es de la siguiente manera:

La etiqueta de los estudiantes $a_1, \dots a_{10}$. Por contradicción, tenemos:

$a_1+a_2+a_3 \le 16$

$\dots$

$a_{10} +a_1+a_2 \le 16$

Resumiendo:

$3a_1+\dots +3a_{10} \le 16\cdot 10$

Esta es una contradicción como $a_1+\dots + a_{10} = 55$

Pero este argumento se rompe cuando tratamos es de 17. Im no está seguro de que la proposición de que un estudiante debe tener un número de más de 17 incluso es correcto! Alguien puede probar o encontrar un contraejemplo?

Answer 1

Usando las ideas de Arturo Magidin la respuesta y Marque Bennet comentario:

La puntuación media en la primera ronda es $5.5$, por lo que la puntuación media en la segunda ronda es $16.5$. Debido a que las puntuaciones son números enteros, esto significa que al menos uno de los siguientes es verdadera:

1. Alguien ha estrictamente más que 17 en la segunda ronda
2. Al menos dos vecinos tienen exactamente 17 en la segunda ronda
3. El arreglo debe tener alternando 17s y 16s

Para (2), ver el$a_1+a_2+a_3 = 17$$a_2+a_3+a_4 = 17$, para resolver por $a_4$ en términos de $a_1$.

Para (3), ver el$a_1+a_2+a_3 = 17$$a_2+a_3+a_4 = 16$, (ignorar $a_3+a_4+a_5 = 17$,) y en$a_4+a_5+a_6 = 16$$a_5+a_6+a_7 = 17$, para resolver por $a_4$ en términos de $a_1$ y, a continuación, a resolver por $a_7$ en términos de $a_4$.

Así (1) debe ser el caso.

Answer 2

Usted está en el camino correcto. Sabemos que la suma de los números asignados originalmente es $55$, y de forma que la suma de los números asignados por el segundo profesor debe ser tres veces este o $165$.

Lo que si cada estudiante tiene un número que es en la mayoría de las $17$? Debe haber al menos 5 personas que tienen el número de $17$. En cuántas formas diferentes pueden dos personas se da el número de $17$?

Así, la forma en que el chico con $9$ originalmente ahora ha $17$. A continuación, debe estar sentado junto a $1$$7$, $2$ $6$ o a$3$$5$.

Dicen que es de 3 y 5; 3 o 5 17 en la segunda ronda? No: uno de sus vecinos en 9; pero el otro vecino que necesitan es estar en el otro lado de la 9! Así que, ni 3 ni 5 17 en la segunda asignación.

Así: un estudiante obtiene 17; luego de sus dos vecinos. Tal vez la próxima ronda los estudiantes en ambas direcciones obtener 17? A continuación, sus otros dos vecinos no (el mismo argumento). Así que ahora tenemos tres estudiantes que hicieron 17, y cuatro que no lo hicieron. Todavía necesitamos al menos dos estudiantes más para obtener 17, y sólo tenemos tres estudiantes de izquierda; se puede hacer?

Verificación de las otras posibilidades. Tal vez uno de los estudiantes tiene 17, sus dos vecinos no, y uno de los dos próximos hizo; ¿hay espacio suficiente para un mínimo de 5 estudiantes necesitamos para obtener 17?

Answer 3

Ya han demostrado que un estudiante debe tener un número nuevo que al menos 17.

Consideremos ahora los números antiguos. Pasar por alto el estudiante cuya asignación número viejo era $1$. La suma de los números viejos de los estudiantes restantes es $54$. Estos estudiantes se dividen en tres grupos (no superpuestos) arbitrarios. La suma promedio de tres números en este grupo es $54/3 = 18$. Por lo tanto, uno de los nuevos números de debe ser 18 o superior.