Serie infinita expansión de $\sin (x)$

Question

¿Hay otras maneras de demostrar que $$\sin(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{1+2k}}{(1+2k)!}$$

sin el uso de la definición de la serie de Taylor de exponenciales complejas, y de manera similar para $\cos(x)$?

Answer 1

Allí está el camino de Euler hizo. En primer lugar recordar que $$ \sin(\theta_1+\theta_2+\theta_3+\cdots) = \sum_{\text{impar }k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2} \sum_{|A| = k}\ \prod_{i\in A} \sin\theta_i\prod_{i\no\en Una} \cos\theta_i. $$ A continuación, vamos a $n$ ser infinitamente grande entero (que es como Euler enunciado de que, si no me equivoco) y dejar que $$ x= \frac{\theta}{n} + \cdots + \frac{\theta}{n} $$ y aplicar la fórmula para encontrar la $\sin x$. Por último, recordar que (como Euler), ya que $\theta/n$ es infinitamente pequeño, $\sin(\theta/n) = \theta/n$$\cos(\theta/n) = 1$. A continuación, hacer un poco de álgebra y de la serie cae.

El álgebra se incluyen cosas como decir que $$ \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n^k} = 1 $$ si $n$ es un infinito número entero y $k$ es un número finito de enteros.

Answer 2

Esto es de Simmons Cálculo. En un ejercicio.

$$ \cos x \leq 1$$ $$ \int_0^x\!\cos t \,\mathrm{d}t\leq \int_0^x\! \,\mathrm{d}t$$ $$ \sin x \leq x$$ $$ \int_0^x\!\sin t \,\mathrm{d}t\leq \int_0^x\! t \,\mathrm{d}t$$ $$ \left.-\cos t\right|_0^x\leq \frac{ x^2}{2}$$ $$ 1-\cos x\leq \frac{ x^2}{2}$$ $$ \cos x\geq 1-\frac{ x^2}{2}$$

Continuando, se puede ver que $\sin x$ es menor que la de su expansión cuando se trunca después de cada vez mayor número impar de términos, y en la alternancia, que $\cos x$ es mayor que su expansión se trunca después de cada vez mayor número par de términos.

No tengo el libro delante de mí. Creo que esta fue la intención de más sugerir la expansión de rigor a probarlo, pero mi comprensión teórica no está a la identificación de lo que falta o a la corrección de cualquier cosa. Aún así, me pareció interesante cuando lo vi y espero que sea pertinente.

Answer 3

Aquí es un mosquito de atacar con armas nucleares solución: se puede utilizar de Lagrange de la inversión:

$$f^{(-1)}(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{k+1}}{(k+1)!} \left(\left.\frac{\mathrm d^k}{\mathrm dt^k}\left(\frac{t}{f(t)}\right)^{k+1}\right|_{t=0}\right)$$

and let $f(t)=\arcsin\,t$; probably the only deal-breaker here is that the expressions for the derivatives get progressively unwieldy. However, if one takes limits as $t\a 0$ for these derivatives, one recovers the familiar sequence $1,0,-1,0,1,\puntos de dólares.

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Hay una versión de Lagrange de inversión que utiliza los coeficientes de la potencia original de la serie en lugar de la propia función. Mathematica soporta de forma nativa esta operación a través de la InverseSeries[] de la construcción, pero aquí es una aplicación de uno de los más simples de los algoritmos para la reversión de la serie, debido a Henry Thacher:

a = Rest[CoefficientList[Series[ArcSin[x], {x, 0, 20}], x]];
n = Length[a];
Do[
    Do[
      c[i, j + 1] = Sum[c[k, 1]c[i - k, j], {k, 1, i - j}];
      , {j, i - 1, 1, -1}];
    c[i, 1] = Boole[i == 1] - Sum[a[[j]] c[i, j], {j, 2, i}]
    , {i, n}];
Table[c[i, 1], {i, n}]

y luego se compara con la salida de Rest[CoefficientList[Series[Sin[x], {x, 0, 20}], x]].

Otros métodos, incluyendo una modificación del método de newton para la serie, se han presentado, pero no voy a entrar aquí.

Answer 4

Se puede empezar con la definición básica de $e$: $$ e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $$ a continuación, elevar $e$ a un poder real $x$: $$ \begin{align} e^x&=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{nx}\\ &=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \end{align} $$ Luego podemos extender esto al imaginario de los exponentes: $$ e^{ix}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n\etiqueta{1} $$ Una manera de ver el $(1)$ es usando el Teorema Binomial para obtener una serie de $e^{ix}$. $$ \begin{align} e^{ix} &=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\frac{ix}{n}\right)^k\\ &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^\infty\frac{P(n,k)}{n^k}\frac{(ix)^k}{k!}\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(ix)^k}{k!}\tag{2} \end{align} $$ Pasando el límite interior de la suma es legal, ya que $\frac{P(n,k)}{n^k}\to 1$ monótonamente, y debido a la final de la suma converge absolutamente.

Otra forma de ver el $(1)$ es el uso de la geometría de los números complejos.

Recordemos que para un número complejo, $z$, tenemos $$ \begin{align} \left|z^n\right|&=|z|^n\tag{3a}\\ \arg\left(z^n\right)&=n\arg(z)\tag{3b} \end{align} $$ Además, recordemos que $$ \begin{align} \textstyle\left|1+\frac{ix}{n}\right|&=\textstyle\sqrt{1+\left(\frac{x}{n}\right)^2}\tag{4a}\\ \textstyle\arg\left(1+\frac{ix}{n}\right)&=\textstyle\tan^{-1}\left(\frac{x}{n}\right)\tag{4b} \end{align} $$ El uso de $\mathrm{(3a)}$$\mathrm{(4a)}$, obtenemos $$ \begin{align} \left|e^{ix}\right| &=\left|\lim_{n\to\infty}\textstyle\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n\right|\\ &=\lim_{n\to\infty}\textstyle\left(1+\left(\frac{x}{n}\right)^2\right)^\frac{n}{2}\\ &=\lim_{n\to\infty}\textstyle\left(1+\left(\frac{x}{n}\right)^2\right)^{n^2\frac{1}{2n}}\\ &=\lim_{n\to\infty}\textstyle\left(e^{x^2}\right)^\frac{1}{2n}\\ &=1\tag{5} \end{align} $$ El uso de $(3\mathrm{b})$$(4\mathrm{b})$, obtenemos $$ \begin{align} \arg(e^{ix}) &=\arg\left(\lim_{n\to\infty}\textstyle\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}\textstyle n\;\tan^{-1}\left(\frac{x}{n}\right)\\ &=x\;\lim_{n\to\infty}\textstyle\tan^{-1}\left(\frac{x}{n}\right)\left/\frac{x}{n}\right.\\ &=x\tag{6} \end{align} $$ El uso de $(5)$$(6)$, podemos ver que $e^{ix}$ tiene una longitud de $1$ y el argumento de $x$. La conversión de $e^{ix}$ a coordenadas rectangulares, obtenemos $$ e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\etiqueta{7} $$ La comparación de las partes real e imaginaria de $(2)$$(7)$, obtenemos la serie de $\sin(x)$$\cos(x)$.