Como usted dice, el caso abierto (para determinar si hay un número finito o infinito número de puntos racionales) es el caso de género $1$. (Si se está restringiendo a sus suaves curvas en el plano proyectivo, entonces estos son lisas avión cúbicas.)
Se espera que este sea decidable. De hecho, el procedimiento se conoce; lo que en la actualidad no demostrada es que el procedimiento se hace lo que se conjetura que hacer.
En primer lugar, uno tiene que determinar si el género de una curva racional alguno. Uno puede comprobar primero esta forma local (es decir, el $\mathbb R$ y todos los $\mathbb Q_p$); si no hay puntos por encima de una de las terminaciones de $\mathbb Q$, luego
ciertamente, no hay puntos racionales. En la práctica, la comprobación de que esta es una materia de la resolución de congruencias y la aplicación de Hensel del lema (y mirando a un gráfico,
en el caso de $\mathbb R$de los puntos), y por lo tanto es eficaz.
Si la curva tiene puntos en cada finalización, se encuentra en el Shafarevic--Tate grupo de su Jacobiano, y determinar si es el trivial o elemento no es equivalente a la determinación de si la curva tiene al menos un punto racional. El Shafarevic --Tate grupo se conjetura que es finito, y si lo es, lo es efectivamente computable por el descenso infinito; por lo que este debe ser también eficaz.
Por último, supongamos que el género de una curva tiene un punto racional. Es entonces una curva elíptica, y el Abedul, Swinnterton-Dyer conjetura da un (conjetural) criterio para determinar si se ha finitos o infinitos puntos. Uno tiene que comprobar si la $L$-en función de su curva elíptica es distinto de cero en $s=1$ o no. La determinación de si un holomorphic función se desvanece en un punto o no, no es necesariamente eficaz en general, pero en este caso, resulta que (gracias a la modularidad teorema de Wiles, y el método de modular símbolos) que calcular el valor de la $L$-de la función en $s = 1$ es eficaz. (Se convierte en un problema combinatorio, en lugar de un verdadero problema en análisis.)
En realidad, asumiendo la finitud de la Shafarevic--Tate grupo, también se puede resolver la cuestión de finito/infinito número de puntos por el descenso infinito; no hay necesidad de usar la conexión con las formas modulares o el Abedul, Swinnerton-Dyer conjetura. (Sólo tengo una afición por el último, que es por qué se me vino a la mente en primer lugar.)
En la práctica, el algoritmo de descenso infinito que he descrito (la incorporación de BSD o no, dependiendo de sus inclinaciones) debería funcionar para cualquier género $1$ curva; si no, se le ha encontrado un contraejemplo para (al menos) uno de los dos conjeturas que se espera para ser verdad: el Shafarevic--Tate conjetura y/o el Abedul, Swinnerton-Dyer conjetura! Me imagino que de alguna forma este algoritmo está implementado en la computadora moderna álgebra idiomas.
