Deje $\mathbb{P}^n$ denota el conjunto de todas las líneas a través de el origen de las coordenadas espacio de $\mathbb{R}^{n+1}$. Definir una función$$q: \mathbb{R}^{n+1} - \{0\} \to \mathbb{P}^n$$ by $q(x) = \mathbb{R}x =$ line through $x$. How do I see that the functions$$f_{ij}(\mathbb{R}x) = x_ix_j/\sum x_k^2$$define a diffeomorphism between $\mathbb{P}^n$ and the submanifold of $\mathbb{R}^{(n+1)^2}$ consisting of all symmetric $(n+1) \times (n+1)$ matrices $Un$ of trace $1$ satisfying $A^2 =$?
Respuesta
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Nir
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El punto clave es que, una real simétrica matriz $a$ puede ser diagonalized en una base ortonormales.
En que ortonormales base a la matriz de $B=P^{-1}AP$ será diagonal con los elementos de la diagonal $b_{ii}$ igual a $0$ o $1$, ya que el $B^2=B$.
La condición de $Tr(B)=1$ implica que solo una de las diagonales de las entradas es de $1$, siendo los otros el $0$.
Por lo tanto $A$ es la matriz de proyección ortogonal de a $\mathbb{R}^{n+1}$ sobre el vector de la línea de $L=Im(A)=A(\mathbb{R}^{n+1})$ a lo largo de la hyperplane $H=ker(A)$ .
Bueno, que la línea $L$ es la línea de $[L]\in \mathbb P^n(\mathbb R)$ asociado a $A$ !
