¿Son las poleas ideales poleas localmente libres?

Question

Sea $X$ sea un esquema suave de tipo finito. Creo que la gavilla ideal de codimensión 1 subesquema de $X$ es localmente libre ya que está definida localmente por una ecuación. ¿Y en los casos de mayor codimensión?

Answer 1

Sea $X=Spec\mathbb{C}[x,y]$ . Lo ideal $(x,y)$ correspondiente al origen $X\cong \mathbb{C}^2$ está contenido en la gavilla de estructura, por lo que es haz de líneas si es localmente libre. Sin embargo, necesita dos generadores $x,y$ y no puede ser un haz de líneas.

Answer 2

No, las poleas ideales no son localmente libres en general.

El ejemplo más sencillo es el siguiente $X=\mathbb A^2_k$ ( $k$ un campo) con la gavilla ideal $\mathcal I\subset \mathcal O$ de funciones que desaparecen en el origen $P=(0,0)$ un subesquema de codimensión dos de $X$ .
Si $\mathcal I$ fuera localmente libre sería localmente libre de rango uno (fíjese en los tallos vecinos: en $U=X\setminus \lbrace P\rbrace$ tenemos $\mathcal I\mid U=\mathcal O\mid U$ ) .
Sin embargo, si $\mathcal I$ estuvieran libres de rango uno, tendríamos $\mathcal I_P\cong\mathcal O_{X,P}$ [un isomorfismo de $\mathcal O_{X,P}$ -módulos].
Esto significaría que el ideal $(x,y)\subset k[x,y]_{(x,y)}$ es principal, y es fácil comprobar a mano que esto no es cierto.
Esta contradicción demuestra que $\mathcal I$ no es localmente libre.