Álgebra de límites vs. L'Hospital

Question

Tenemos que evaluar el siguiente límite:

$$\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{x - \sin(x)}{x^3}$$

Cuando lo evalúo utilizando la regla de L'Hospital obtengo $\dfrac16$ pero cuando simplifico el límite utilizando las reglas algebraicas simples del límite obtengo $0$ .

Podemos utilizar esta regla: $\displaystyle\lim [f(x) \pm g(x)] = \lim[f(x)] \pm \lim[g(x)]$ para simplificar el límite dado.

$$\lim_{x\to 0} \dfrac{x - \sin(x)}{x^3} = \lim_{x\to 0}\dfrac{x}{x^3} - \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x^3}$$

También, $\lim[f(x).g(x)] = \lim[f(x)].\lim[g(x)]$ .

$$\therefore \lim_{x\to 0}\dfrac{x}{x^3} - \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x^2} - \left(\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} \right)\left(\lim_{x\to 0} \dfrac{1}{x^2}\right)$$

Ahora, ya que, $\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} = 1$ ,

$$\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x^2} - \left(\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} \right)\left(\lim_{x\to 0} \dfrac{1}{x^2}\right) = \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x^2} - \lim_{x\to 0} \dfrac{1}{x^2} = \lim_{x \to 0}\left(\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x^2}\right) = 0$$

¿Por qué estoy recibiendo $0$ cuando uso el álgebra de límites.

Answer 1

Normas como

$$\lim[f(x) \pm g(x)]=\lim[f(x)] \pm \lim[g(x)]$$

sólo son verdaderas si todos los límites implicados convergen a números finitos. Casi todos los límites implicados en su argumento resultan acercarse al infinito.

Answer 2

El problema es que $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x^3} = \infty$ por lo que no se pueden evaluar los límites de forma independiente.

Answer 3

Aquí hay dos tipos de errores diferentes:

1) el álgebra de los límites supone que los límites existen. Aquí, después de la división, ninguno de $x/x^{3}$ y $\sin x/x^{3}$ tienden a un límite. Esto también se ha comunicado en otras respuestas.

2) el segundo error es un poco difícil de entender. En el último paso el cálculo es como $$ L = \lim_{x \to a}f(x) - \lim_{x \to a}g(x)\lim_{x \to a}h(x)$$ donde $\lim_{x \to a}g(x) = 1$ y luego este límite $1$ se sustituye para obtener $$L = \lim_{x \to a}f(x) - \lim_{x \to a}h(x)$$ y en este caso $f(x) = h(x)$ y el siguiente paso es $$L = \lim_{x \to a}f(x) - h(x) = 0$$ Esta parte vuelve a violar la regla del álgebra de límites mencionada en la parte 1) anterior.

Pero mi preocupación es la sustitución de la $\lim_{x \to a}g(x)$ por $1$ durante el cálculo del límite $L$ . Sólo hay dos situaciones en las que se puede hacer esa sustitución.

Dejemos que $\lim_{x \to a}g(x) = A$ existe entonces

• $\lim_{x \to a}\{f(x) \pm g(x)\} = \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x) = \lim_{x \to a}f(x) \pm A$ independientemente de que $\lim_{x \to a}f(x)$ existe o no.
• $\lim_{x \to a}f(x)\cdot g(x) = \lim_{x \to a}f(x)\cdot\lim_{x \to a}g(x) = A\lim_{x \to a}f(x)$ proporcionó $A \neq 0$ independientemente de que $\lim_{x \to a}f(x)$ existe o no.

Durante el cálculo del límite de una expresión complicada, normalmente aplicamos las reglas del álgebra de límites y, por tanto, el límite completo se expresa como una combinación algebraica de límites de expresiones más pequeñas. Podemos sustituir una de las expresiones límite más pequeñas por su valor límite sólo en los dos casos mencionados anteriormente. Esto se explica con mayor profundidad en la entrada de mi blog bajo el epígrafe "uso indebido de las normas de límites".

Answer 4

Considere

$$\lim_{x\to 0} f(x)g(x) = \lim_{x\to 0} x\dfrac{f(x)g(x)}{x} = \left(\lim_{x\to 0} x\right)\left(\lim_{x\to 0} \dfrac{f(x)g(x)}{x}\right) = 0\times \left(\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)g(x)}{x}\right)= 0$$

Answer 5

En resumen, la regla de l'Hopital se puede utilizar aquí, pero no se puede tomar el límite de $x/x^3$ y $(\sin x)/x^3$ por separado y luego tomar la diferencia porque ambos límites son $\infty$ como $x\downarrow 0$ .