En primer lugar, tenga en cuenta que podemos esperar una relación inversa entre la voluntad de ser no local, ya que la inversa de la norma diferencial operador $d/dx$ es la integral de la $\int_a^x \, dx'$.
Suponga que en el caso más simple, tenemos el simplemente se conecta el dominio $\mathbb{R}^3$ (con suficiente caries en el infinito que lo que las integrales escribimos convergerán), y que estamos tratando de resolver
$$ \nabla \times A = B $$
para $A$. Tomando otro curl da
$$ \nabla \times (\nabla \times A) = \nabla \times B, $$
y parece que he hecho cosas peores. Pero tenemos
$$ \nabla \times (\nabla \times A) = \nabla(\nabla \cdot A)-\nabla^2 A, $$
donde el último término es el vector de Laplace. Ahora, si podemos decir que $\nabla \cdot A=0$ (que es cierto que no está claro es posible; vamos a volver a eso), entonces tenemos que resolver la ecuación
$$ -\nabla^2 A = \nabla \times B. $$
Pero si usamos coordenadas Cartesianas, el vector de Laplace actúa como el ordinario Laplaciano en cada componente de $A$; por lo tanto, se puede invertir mediante la función de Green para el Laplaciano (si usted no conoce esto, es dada por la solución a $-\nabla_x^2 G(x-y) = \delta(x-y)$ satisfacer el derecho de las condiciones de contorno), que en este caso es $-1/(4\pi |x-y|)$. A continuación, definimos
$$ A_B(x) = \int_{\mathbb{R}^3} G(x-y) (\nabla \times B)(y) \, dy=\int B(y) \times [\nabla G(x-y)] \, dy, $$
la integración por partes. Hace este trabajo? Bien,
$$ \nabla \times (X \times a) = (a\cdot \nabla)X-(\nabla \cdot X)a, $$
así tenemos
$$ \nabla \times A_B = \int (B(y) \cdot \nabla)\nabla G(x-y) \, dy + \int B(y) (-\nabla^2 G(x-y)) \, dy; $$
el antiguo término es cero porque si vamos a integrar por partes, obtenemos un $\nabla \cdot B$, que es cero debido a que $B$ que se supone será el curl de algo. El segundo término es sólo $B(x)$ por la definición de la función de Green!
(Algunos se requiere más atención en el anterior: decidir cómo activar el $\nabla_x$ a una $\nabla_y$ y así sucesivamente, pero esa es la idea correcta.)
Bueno, eso funciona. Ahora vamos a ordenar. Tenemos en primer lugar, quiero mostrar que podemos tomar $\nabla \cdot A=0$. Supongamos que definimos $\Lambda$, de modo que $-\nabla^2\Lambda=\nabla \cdot A$ (bastante fácil, el uso de la función de Green). Pero, a continuación, $A_{\Lambda}=A+\nabla \Lambda$ también resuelve $\nabla \times A_{\Lambda} = B$, y tiene cero divergencia. Esto también nos dice cómo llegar desde nuestro $A_B$ a lo más general a $A$ que no tiene $\nabla \cdot A=0$: agregar en un gradiente de algo.
