¿Por qué tan integral inversa tiene un 1/a pero no el pecado inversa?

Question

$$\begin{align*} \int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}} &= \sin^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + K\\ \int \frac{du}{a^2+u^2} &= \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + K \end{align*} $$

Siempre se preguntaba por qué, pero no tenía ni idea.

Answer 1

Creo que la manera más intuitiva para pensar en esto en términos de dimensiones de análisis.

Desde $u^2$ $a^2$ se añaden, se debe tener las mismas dimensiones, por lo $u$ $a$ debe así. Decir, por su especificidad, que $u$ $a$ son ambas longitudes.

Luego el izquierdo integrando es adimensional (como $du$ $\sqrt{a^2-u^2}$ son ambas longitudes), por lo que se puede integrar a un puro número. Pero el derecho integrando unidades de la inversa de la longitud (como $a^2+u^2$ es un área). Por lo que debe integrar a cierta cantidad, que también tiene unidades de la inversa de la longitud; $a$ es la única constante alrededor con unidades de longitud, es natural que escribo esto como $\frac{1}{a}$ algunas veces la función de $u$ que es un puro número.

Answer 2

Para este último, usted tiene $\dfrac{1}{a}\cdot d\left(\dfrac{u}{a}\right)= \dfrac{du}{a^2}$ mientras la primera tiene $\dfrac{du}{a} = d\left(\dfrac{u}{a}\right)$. $\dfrac{1}{a}$ Demuestra para arriba para equilibrar el $a^2$ en el denominador.