Pregunta en la monotonía y differentiability

Question

Que $f:[0,1]\rightarrow \Re$ ser continuo. $f$ Es diferenciable casi por todas partes y $f(0)>f(1)$.

¿Esto implica que existe un $x\in(0,1)$ tal es diferenciable en el % que $f$ $x$y $f'(x)<0$?

Mi corazonada es que sí pero no veo una manera de probarlo. ¿Pensamientos (prueba/contraejemplo)?

¡Gracias!

Answer 1

La función de Cantor satisface sus hipótesis (hasta señal) pero el derivado desaparece cuando la función es diferenciable.

Answer 2

Como se dice en otra respuesta la función de Cantor es un contraejemplo.
Usted tendría que asumir differentiability % todos $x \in (0,1)$. "Casi por todas partes" no es suficiente.