Cuando se trata con interferencia de doble rendija o la interferencia de las ondas de numerosas aberturas, la ecuación nλ=cuantos pecados θ . Sin embargo no entiendo por qué para calcular el ángulo de máximos y mínimos es bueno considerar la diferencia del camino de las ondas de cada rendija, donde sólo uno de onda de cada rendija se considera. Seguramente, hay numerosas oleadas de cada rendija, el siguiente principio de huygens que cada onda de un frente de onda es una fuente de secundaria wavelet. Por lo tanto, seguramente, es la interferencia de las olas infinitas de cada rendija. Por lo tanto, seguramente es injusto asumir que si una onda se interfiere en cierto modo, con otra ola de otra rendija, a continuación, todas las ondas de cada rendija va a interferir en la misma forma.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En realidad, usted está completamente a la derecha. La mayoría de los tratamientos de la doble rendija de tener algún tipo de simplificación. La habitual idea es que nos aproximado de cada rendija de la doble rendija para ser un punto de origen, así que lo que realmente estamos analizando es el caso de "dos coherente de las fuentes puntuales."
Esta aproximación puede ser justificado por la suposición de que su aberturas son muy pequeñas en comparación con la distancia entre ellos y las longitudes de onda. Cuando cada rendija es muy pequeño, hay "menos cantidad de wavelets" (hay infinitamente muchos pero espero que mi punto todavía tiene sentido), y si hay menos cantidad de ondas que vienen de fuera, hay menos de ellos para estar fuera de fase.
Cuando usted hace su aberturas más pequeñas y más pequeñas, las dos ondas más fuera de fase están más cerca y más cerca, y ellos son más y más en la fase.
De hecho, en el caso de la rendija, al hacer la abertura de la hendidura pequeños, y la barra de en medio se vuelve más ancha. En algún punto, se vuelve tan amplia que usted puede ser que como bastante aproximada de la rendija como un punto de origen.
Por supuesto, usted realmente puede hacer el tratamiento completo de ambos la rendija simple y la doble rendija en detalle (suponiendo que el campo lejano de aproximaciones). De hecho, usted puede conseguir el completo de la función que describe el patrón. La derivación se hace un desorden, pero la idea es que usted tiene una infinidad de frentes de onda de la salida, y desea "suman" los efectos de cada frente de onda, cada una de las cuales es infinitesimalmente pequeño. Resulta que este requerirá una parte integral de la suma de ellos (de la misma manera a la gente hablar de integrales "sumando" infinitesimal de área).
Al hacer esto, la intensidad de la onda en la pantalla es $$ I(\theta) = I_{0}\frac{\sin^{2}(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda})}{(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda})^{2}}.$$ La doble rendija patrón (el ancho de la rendija $a$, la distancia entre las rendijas $d$) resulta que tiene un sorprendentemente similar función y el patrón está dado aproximadamente por $$ I(\theta) = I_{0}\frac{\sin^{2}(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda})}{(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda})^{2}} \cos^{2}(\tfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda}).$$ Cuando tomamos $a\ll\lambda$, $\pi a\sin\theta /\lambda \approx 0$ entonces $\left(\sin^{2}(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda})\right) / (\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda})^{2} \approx 1$. Entonces la ecuación anterior se convierte en $$ I(\theta)\approx I_{0}\cos^{2}(\tfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda})$$ y se puede ver que los máximos se producen al $\tfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda} = n\pi$ o más $d\sin\theta = n\lambda$. Pero al final del día, esto no es sino una simplificación/aproximación.
Voy a dar las derivaciones para las fórmulas a continuación. Una discusión de este y de las ecuaciones que se proporcionan en el último capítulo de la Vibración y Ondas por A. P. francés.
Dos Fuentes Puntuales
Antes de responder a lo que sucede con infinidad de frentes de onda, se había sentido pedir lo que si tenemos dos fuentes puntuales?
Dado un punto en la pantalla por delante, ¿cuál es el camino recto de una de las fuentes a ese punto? Desde la pantalla está lejos, podemos aproximar estos dos caminos en paralelo, dado por las dos flechas en la imagen. La única diferencia entre estos dos caminos aquí es que uno de ellos es más largo por $d\sin\theta$.
Estamos tratando con 2D donde las ondas se propagan en un círculo de cada fuente, pero a lo largo de cada línea nos tienen esencialmente un 1D de la onda. En la imagen de arriba, si $x$ es la distancia a lo largo de las flechas, la onda está dada por $A\sin(kx-\omega t)$. Si la flecha de la derecha tiene una distancia total $x=D$, la flecha de la izquierda tiene una distancia total $x=D+d\sin\theta$ (todo lo que importa es que si se dibuja un muy largo triángulo, los dos lados más largos se diferencian por sobre $d\sin\theta$).
En la pantalla de la onda debido a la fuente correcta es $A\sin\big(kD-\omega t\big)$. La onda debido a la izquierda de la fuente es $A\sin\big( k(D+d\sin\theta)-\omega t \big)$. Por lo tanto, el total de la onda es
$$ A\sin\big(kD-\omega t\big) + A\sin\big( k(D+d\sin\theta)-\omega t \big).$$
Para limpiar esto un poco, vamos a $\phi = kD-\omega t$ y deje $\Delta\phi = kd\sin\theta$. Esto le da a la expresión
$$ A\sin(\phi)+A\sin(\phi+\Delta\phi). $$
Esta suma de senos es en realidad solo una onda sinusoidal en el disfraz! Tenemos que usar algunos no trivial de identidades trigonométricas. Esto se da en la wikipedia en la sección llamada "combinación Lineal". Entonces
$$ Un\sin(\phi)+\sin(\phi+\Delta\phi) = \underbrace{\sqrt{A^{2}+A^{2}+2A^{2}\cos(\Delta\phi)}}_{\text{Amplitud}}\sin(\cdots). $$
La amplitud (usando la mitad de ángulo de la fórmula) se da como
\begin{align*} \sqrt{2A^{2}+2A^{2}\cos(\Delta\phi)} &= A\sqrt{2}\sqrt{1+\cos(\Delta\phi)} \\ &= 2A\sqrt{ \frac{1+\cos(\Delta\phi)}{2} } \\ &= 2A\cos(\tfrac{\Delta\phi}{2}). \end{align*}
Ooookay. Una cosa más. Si tenemos una copia de seguridad, es necesario aclarar que el $k$ es llamado el número de onda. Está relacionada con la longitud de onda por $k = 2\pi/\lambda$. Con esto, sabemos $\Delta\phi = kd\sin\theta = 2\pi d\sin\theta/\lambda$. Por lo tanto, la onda es $2A\cos\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right)$. La intensidad está dada por el cuadrado de la amplitud, por lo que $$ I(\theta) = 4A^{2}\cos^{2}\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right). $$
De Una Sola Rendija Patrón
Lo anterior fue dado sólo por lo que tenemos el enfoque general para observar estos problemas, por lo que pueden atacar el problema que tienen tres fuentes puntuales o $N$ muchos, y esto será útil aquí.
Tenemos una sola rendija de anchura $a$. La estrategia es dividir la ola en $N$ ondas en el espíritu de la Hyugens. Las fuentes de ondas son igualmente espaciados por $\Delta s = a/N$. Cada fuente de ondas contribuye $1/N$ de la onda original.
Este será un reflejo de que el razonamiento empleado para el caso de dos fuentes. Deje $D$ ser la distancia entre el centro exacto de nuestra abertura del objetivo. La distancia de cada punto a la meta entonces es $x=D + s_{n}\sin\theta$ donde $s_{n}$ es la posición de la fuente con respecto al centro (si la fuente está más a la derecha, $s_{n}$ deberá ser mayor).
La onda debido a que cada fuente es ahora $(A/N)\cos\big(k(D + s_{n}\sin\theta) - \omega t \big)$. Dado que ya se señaló $\Delta s = a/N$,$\Delta s / a = 1/N$. Resumiendo todas las ondas, tenemos
$$ \sum_{n} A\cos\big(k(D+s_{n}\sin\theta) - \omega t \big)\frac{\Delta s}{a}. $$
Ahora vamos a usar un truco. El truco es tomar ventaja de la identidad de Euler $e^{iu} = \cos(u)+i\sin(u)$. Esto va a parecer barato, pero nosotros simplemente reemplazar todas las $\cos u$ términos por $e^{iu}$, y que podemos entender que estamos tratando sólo con la parte real cuando sea necesario.
La clave para esto es que la "parte real" es aditivo, por lo $\text{Re}\; (e^{iu}+e^{iu'}) = \text{Re}\; (e^{iu}) + \text{Re}\; (e^{iu'})$ (esto es no es tan simple si estamos multiplicar números complejos). Esto sólo funciona porque estamos añadiendo cosas. También, lo que estamos haciendo respeta la integración, por lo $\int_{a}^{b} \text{Re}\;e^{iu}\;du = \text{Re}\;\int_{a}^{b}e^{iu}\;du$. La magia de este truco es que hace que todos los de la trigonometría increíblemente fácil.
Vamos a ir de nuevo a la suma anterior y escribir
$$\sum_{n} Ae^{i\left[ k(D+s_{n}\sin\theta)-\omega t\right]} \frac{\Delta s}{a}.$$
Hyugens principio trata con infinidad de frentes de onda. Esto significa que debemos enviar a $N\rightarrow \infty$. De dicha suma, a continuación, se transforma en
\begin{align*} \int_{-a/2}^{a/2} \frac{A}{a}e^{iks \sin\theta} e^{ikD-i\omega t} \;ds &= \frac{Ae^{ikD-i\omega t}}{a}\left( \frac{e^{iks\sin\theta}}{ik\sin\theta} \right) \Big|_{s=-a/2}^{s=a/2} \\[1em] &= \frac{Ae^{ikD-i\omega t}}{aik\sin\theta}\left( e^{ika\sin\theta/2}-e^{-ika\sin\theta/2} \right) \\[1em] &= \frac{Ae^{ikD-i\omega t}}{aik\sin\theta}\left(2i\sin\left(\frac{ka\sin\theta}{2}\right)\right)\\[1em] &= A\frac{\sin\left( \tfrac{ka\sin\theta}{2} \right)}{\left(\tfrac{ka\sin\theta}{2}\right) }e^{ikD-i\omega t} \\[1em] &= \underbrace{A\frac{\sin\left( \tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda} \right)}{\left( \tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda} \right)}}_{\text{Amplitude}}e^{ikD-i\omega t}. \end{align*}
Finalmente, la intensidad es el cuadrado de la amplitud, de modo
$$ I(\theta) = A^{2}\frac{\sin^{2}\left( \tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda} \right)}{\left(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda} \right)^{2}}$$
Doble Rendija Patrón
Cada ranura tiene la anchura $a$. La distancia entre el centro de cada rendija es $d$.
Al igual que antes, hemos dividido la onda en cada apertura en $N$ olas, respectivamente. Para cada abertura, $\Delta s = a / N$. Como enviamos $N\rightarrow \infty$ por las dos rendijas, obtenemos la integral $$ \int_{-\frac{d}{2}-\frac{a}{2}}^{-\frac{d}{2}+\frac{a}{2}}\frac{A}{a}e^{iks\sin\theta}e^{ikD-i\omega t}\;ds + \int_{\frac{d}{2}-\frac{a}{2}}^{\frac{d}{2}+\frac{a}{2}}\frac{A}{a}e^{iks\sin\theta}e^{ikD-i\omega t}\;ds. $$ Necesitamos evaluar las integrales, y en serio trig acrobacias. Evaluar y simplificar algunas cosas da $$ \frac{Ae^{ikD-i\omega t}}{ak\sin\theta/2}\left[ \sin\left(k(\tfrac{d}{2}+\tfrac{a}{2})\sin\theta\right)-\sin\left(k(\tfrac{d}{2}-\tfrac{a}{2})\sin\theta\right) \right].$$ Podemos escotilla abierta esta expresión mediante la aplicación de seno, además de fórmulas y obtener la cancelación. Este rendimientos $$ \frac{Ae^{ikD-i\omega t}}{ak\sin\theta/2}\cdot 2\cos\left(k\left(\tfrac{d}{2}\right)\sin\theta\right)\sin\left(k\left(\tfrac{a}{2}\right)\sin\theta\right). $$ Como antes, el número de onda es $k = 2\pi/\lambda$, por lo que ahora la expresión igual a $$ \frac{Ae^{ikD-i\omega t}}{(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda})} \cdot 2\cos\left(\tfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right)\sin\left(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\right) $$ y esto es $$ \underbrace{2A\frac{\sin\left(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\right)}{\left(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\right)}\cos\left(\tfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right)}_{\text{Amplitude}}e^{ikD-i\omega t}. $$ Por el cuadrado de la amplitud, obtenemos $$ I(\theta) = 4A^{2}\frac{\sin^{2}\left(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\right)}{\left(\tfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\right)^{2}}\cos^{2}\left(\tfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right). $$
