Creo que la pregunta lo dice todo. Lo que quiero es, un enfoque muy corto.
Lo que hice: Llamemos día libre al que no forma parte de una semana completa. Así, en un año normal , hay $1$ día libre.
Y en un año bisiesto Hay $2$ días libres.
Así que en $100$ años (Desde el $0^{\text{th}}$ año a la $99^{\text{th}}$ año), habrá
(i) $25$ años bisiestos, si el siglo es divisible por $400$ , si no
(ii) $24$ años bisiestos.
Tratemos primero el primer caso.
Primer caso: En un siglo, habrá $25*2=50$ días libres $+$ $75*1=75$ días libres $\Large\begin{cases}\end{cases}=125$ .
Así que sabemos que $125 \equiv 6(\text{mod} \ 7)$ . Así que habrá $5$ días libres en un siglo.
Ahora en $2$ siglos, habrá ( $250 \equiv 5(\text{mod }7)$ ), $5$ días libres.
En $3$ siglos, habrá $4$ .
En $4$ siglos, $3$ .
En $5$ , $2$ .
En $6$ , $1$
Y en $7$ , $0$ .
Pero parece que no entiendo qué hacer hacia adelante, por favor, indíqueme la dirección correcta.
Editar: Por fin se ha prestado atención a esta cuestión. Alguien pedía opciones aquí vienen:
(i) Miércoles, viernes y domingo
(ii) Miércoles, viernes y sábado
(iii) Miércoles, jueves y domingo.
@ChristianBlatter Buena solución. Pero no he entendido tu última parte. Y por favor todo, te insto a dar un resultado totalmente "auto" calculado, porque esto una pregunta del concurso, por lo que obviamente no se permitiría allí.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En cuatrocientos años hay $97$ años bisiestos y $303$ años no bisiestos. Esto contribuye a un total de $97\cdot 2+303=497$ días libres". Se trata de un múltiplo de $7$ lo que significa que el ciclo de los días de la semana se repite cada $400$ años. Así, sólo cuatro días de la semana (de siete) serán primeros días de un siglo.
$400$ años juntos han $400\cdot365+97=146\,097$ días, que es divisible por $7$ . Por lo tanto, todo se repite después de $400$ años. Según Wolfram Alpha enero $01$ de los años $2000$ , $2100$ , $2200$ y $2300$ son un sábado, un viernes, un miércoles y un lunes, respectivamente. Por lo tanto, ningún siglo comienza con un martes, un jueves o un domingo.
Que los siglos comiencen en enero $01$ del año $100k+1$ los días que faltan serían el miércoles, el viernes y el domingo.
La fórmula del año bisiesto no es perfecta. En concreto, un año dura 365 días, 5 horas, 48 minutos y 46 segundos. En el año medio del calendario gregoriano, nos retrasamos 27 segundos. Por lo tanto, cada 3236 años, aproximadamente, tendremos que saltarnos un año bisiesto para no equivocarnos. Debido a esto, cada día se podrá iniciar un siglo.
La historia ha demostrado en múltiples ocasiones que ajustaremos nuestro calendario para mantener las estaciones conocidas. Además, es más fácil cambiar un día que desplazar los equinoccios, los solsticios, las fechas de siembra de los cultivos, la apertura y el cierre de las escuelas, etc. Así que, aunque se trate de una situación hipotética, ¡garantizo al 100% que los años bisiestos se ajustarán antes de que se permita que julio sea frío en el hemisferio norte!
Quizás quiera saber un poco más sobre las matemáticas utilizadas. Este parece bastante bueno.
El libro, Tablas y fórmulas matemáticas estándar de CRC da el día de la semana $W$ como un número: $0$ es el domingo y $6$ es el sábado,
$$(1) \quad W \equiv d+\lfloor2.6 \cdot m-0.2 \rfloor +Y+\lfloor Y/4 \rfloor +\lfloor C/4 \rfloor-2 \cdot C \mod 7$$
Dónde,
$W$ es el día de la semana
$d$ es el día del mes ( $1$ a $31$ )
$m$ es el mes en el que enero y febrero se tratan como meses del año anterior:
Marzo $\Rightarrow 1$ , abril $\Rightarrow 2$ , $\cdots$ , diciembre $\Rightarrow 10$ , enero $\Rightarrow 11$ , febrero $\Rightarrow 12$ .
$C$ es el siglo menos uno ( $1997$ tiene $C=19$ mientras que $2025$ tiene $C=20$ ).
$Y$ es el año ( $1997$ tiene $Y=97$ excepto $Y=96$ para enero y febrero).
Esta fórmula parece bastante intimidante, pero si practicas, memorizas un poco y modificas un poco el método, ¡podrás calcular fechas en tiempo real! $^1$
Para responder a la pregunta:
Apliquemos $(1)$ para responder a su pregunta,
¿Qué día de la semana no puede ser el primer día de un siglo?
Fijamos las variables para el 1 de enero utilizando $m=11$ , $d=1$ , $Y=99$ y $C$ se mantiene como variable.
Sustituyendo en $(1)$ y simplificando, obtenemos,
$$W \equiv 153+\lfloor C/4 \rfloor -2 \cdot C \mod 7$$
Los únicos valores que $W$ pueden ser son $5,3,1,6$ : Viernes, miércoles, lunes o sábado.
No hay que hacer nada del otro mundo para demostrarlo, basta con observar que la función suelo sube uno por cada cuatro aumentos de $C$ . A continuación, observe que el término $2 \cdot C$ sube ocho por cada cuatro de aumento en $C$ . Obsérvese que esto da lugar a un disminuir de $7$ pero " ". $7 \mod 7$ es cero. Por lo tanto, sólo hay cuatro valores únicos de $W$ .
$^1$ Puedo dar fe de su utilidad. Utilizo el método a diario cuando planifico cosas en mi Calendario. También es una forma novedosa de preguntar por el cumpleaños de alguien.
scubasteve623 tiene razón en que lo más probable es que haya ajustes en el futuro porque el calendario no es perfecto, pero la respuesta que buscas es martes, jueves y domingo.
Suponiendo que esos ajustes no se produzcan pronto...
El 1-1-2100 será el viernes
El 1-1-2200 será el miércoles
El 1-1-2300 será el lunes
El 1-1-2400 será el sábado
...y el ciclo se repetirá a partir de 2500.
