¿Superficies en $\mathbb R^3$ son qué tal que cada sección planar (con más de 1 punto) tiene simetría no trivial?

Question

En $\mathbb R^3$ , la intersección de un plano y una esfera (por ejemplo,$x^2 + y^2 + z^2 = 1$) está vacío, de un solo punto, o un círculo. Todas las isometrías de esos círculos son realizadas por isometrías completo de la esfera. En contraste, cada plano intersecta un cono (por ejemplo,$x^2 + y^2 - z^2 = 0$) en una sección cónica que tiene la reflexión simetrías a lo largo de uno, dos, o más ejes. La reflexión se realiza por una isometría del cono, pero el segundo, en general, no lo es.

Lo superficies en $\mathbb R^3$ , generales o de subconjuntos de a $\mathbb R^3$ , son tales que todos los no-vacío intersecciones planares son de 1 punto o han trivial de simetría? Cuando son las simetrías no extensible a una simetría de la superficie completa?

Answer 1

Sospecho que la respuesta es que la superficie en $\mathbb R^3$ debe ser homogéneo forma cuadrática en $(x,y,z)$ igual a una constante, como en $$ a x^2 + b y^2 + c z^2 + r y z + s z x + t x y = k. $$ Para usted, todos los de $a,b,c,r,s,t,k$ son números reales. Hay muy poco beneficio para permitir que los términos de orden inferior como en $\alpha x + \beta y + \gamma z,$ una traducción toma el resultado de centro en el origen de nuevo. El asunto es que si usted sabe lo suficiente de álgebra lineal, una rotación de la toma de esta superficie en un diagonalized uno, $$ a_1 x_1^2 + b_1 y_1^2 + c_1 z_1^2 = k_1, $$ where some of $a_1,b_1,c_1,k_1$ may be positive, some $0,$ some negative. You might try graphing these with all $a_1,b_1,c_1,k_1 \en \{-1,0,1 \},$ there are 16 possibilities but there is repetition, so maybe take $a_1 \leq b_1 \leq c_1$ but any $k_1.$

Tenga en cuenta que la intersección de cualquier plano con esta superficie es, en las coordenadas apropiadas para el avión, y ortogonal de coordenadas si lo exigimos, una ecuación cuadrática en dos variables $u,v$ es $A u^2 + B u v + C v^2 + D u + Ev = F.$ Esto ha simetrías, o puede ser un punto o una línea o un par de líneas, y así sucesivamente.

Bien, estos ejemplos de trabajo. No creo que habrá otros. Para la mayoría de los aviones a través de una de estas superficies, la simetría de la figura en el plano no se extenderá a la totalidad de la superficie. Por último, una prueba de que sólo estas superficies de trabajo sería bastante elaborada.

EDIT: usuario mjqxxxx dio algo que no había considerado, la que está conectada y el nuevo es: tomar cualquier curva en el $xy$ plano que tiene una simetría, una reflexión o $180^\circ$ rotación o algo. A continuación, construir el cilindro más, es decir, tomar la misma figura con la arbitraria $z.$ Cualquier plano de la rebanada, se conserva la simetría. Ahora, mi opinión es que si tomamos algo en el avión, que tiene sólo un $120^\circ$ rotación simetría, algún tipo de molinete, después de hacer el cilindro de la mayoría de los planos inclinados, a través de la botella no preservar la simetría. Necesidad de thinnmmnnkk. Ese sería un buen resultado, a pesar de que, conectado ejemplos son completa-dimensional cuadrática cosas o cilindros de más de inferiores dimensiones de ejemplos. EDDITTT: más en los comentarios de abajo. Esto es yendo de la mano. El segundo ejemplo que es esencialmente inferior-dimensional es tomar cualquier curva en el $xy$ plano con $y \geq 0$ y girar alrededor de la $x$-eje.