La segunda fórmula no es una generalización de la primera, es una simple consecuencia de la definición de la torsión campos, como la primera. Estas fórmulas son de la definición formal de la ruta integral para la superficie de Riemann y, a continuación, el "giro" del campo de las funciones de correlación son esencialmente definido por reproducir las funciones de correlación. (Voy a ser explícito acerca de la definición, consulte a continuación).
El documento utiliza la notación $\tau$ $\bar{\tau}$ para el giro de los campos, en lugar de $\Phi$$\bar{\Phi}$, lo voy a usar eso. Estos campos no aparecen en el Lagrangiano, que no se integran en ellos, ellos no tienen la dinámica, ellos no representan a partículas de cualquier tipo, que no son nada físico como en lo absoluto. Estos están compuestos por campos. Actúan para cambiar la ruta integral de las condiciones de contorno utilizando algunas líneas de corte, y ellos son los operadores locales sólo en que la inserción de ellos sólo depende de la posición donde insertar ellos, no en cómo se dibujan las líneas de corte entre ellas.
A ver lo que son, considerar (siguiente Cardy explicación) n-copias de la teoría del campo, decir que una teoría de un solo escalares $\phi$, y luego por la n-copias se $\phi_i$ con i desde 1 hasta n. Ya que acabamos de duplicar la teoría de la n-veces sin interacción, tenemos una acción que es la suma de la acción de cada campo por separado. Este n-veces no-interactuando mutuamente las copias tienen una evidente permutación de simetría, cualquier permutación de los campos es equivalente a cualquier otro. Esta simetría cíclica es una obviedad- - - los campos son todos iguales, cada uno de ellos tiene la misma acción.
Considerar el subgrupo de permutaciones cíclicas que cambian de campo $i$ campo $i+1$, y supongamos que el uso de esta simetría para definir un nuevo campo de la teoría, en la que hay una línea horizontal que va entre los dos de forma horizontal separa los puntos a y B. Cuando se cruza esta línea, campo i se convierte en el campo de i+1, cuando cruce que va hacia abajo, se convierte de nuevo a trabajo de campo.
Decir que el campo se convierte en otro campo es simplemente decir que los campos son "discontinua" cambiar al cruzar esta línea (los pongo de forma discontinua entre comillas porque de campos cuánticos son siempre discontinua, pero el valor en un punto en el camino de la integral depende de los valores cercanos, y en este caso, el campo que dependen de los cambios) --- la acción en la ruta integral hace que el valor del campo $\phi_1$ justo debajo de la línea en relación con el valor de $\phi_2$ justo encima de la línea, y no en todos los relacionados con el valor de $\phi_1$ justo encima de la línea.
Usted puede imaginar que este en una simulación de la libre campo de la teoría. En dicha simulación, tendrá que seleccionar un entramado sitio, y reemplazar el valor en el sitio con el promedio de las mismas en los cuatro vecinos, además de un aleatorio gaussiano valor de un determinado ancho fijo (según el espaciado reticular). A la derecha debajo de la línea de magia, el vecino de la media para encontrar el valor deseado de campo 1 es de campo número 2, y de manera similar para el campo 2, utilice el campo de 3 por encima de la línea en el medio, y así cíclicamente.
Esto lleva a la n-copia de la teoría en $R^2$ a la teoría en una superficie de Riemann (por la definición de una superficie de Riemann con los recortes), por definición.
Pero ahora note algo agradable--- la posición de la línea es completamente arbitraria, siempre y cuando los extremos de la misma estancia. Si usted se mueve en la línea de arriba, así que el tiempo que tiene el mismo extremo, puede sólo a nivel local redefinir el entramado de valores usando la permutación cíclica de la simetría, de modo que la teoría con este loco de turno mantiene exactamente el mismo. Por ejemplo, supongamos que mover todas las posiciones en el centro de la línea por un espaciado reticular. Para todos los puntos que anteriormente estaban por encima, pero ahora, a continuación, sólo tienes que mover el valor de $\phi_i$ en cualquier configuración a $\phi_{i-1}$. La corte todavía hace lo mismo, la función de partición es exactamente el mismo, pero el corte es en una posición totalmente diferente. Este es el estándar de la cosa en las superficies de Riemann--- la posición de la corte es arbitrario.
Lo que esto significa es que la teoría con la corte puede ser considerado como una teoría con dos inserciones, en cualquiera de los extremos de la corte. La propiedad de estas inserciones es que cuando se toma el campo $\phi_i$ alrededor de la izquierda, uno a la izquierda, en el que terminan en $\phi_{i+1}$, y si haces lo mismo en torno a la de la derecha, en el que terminan en $\phi_{i-1}$. Esto define el giro de los campos de $\tau$$\bar\tau$, que están actuando en a y B. Lo que hacen es producir un comienzo y final de una rama cortada, y se puede vincular el comienza y termina el uno al otro (o a infinito) y tiene la misma función de partición.
Así que para encontrar la función de correlación con giro inserciones:
- poner un corte entre el $\tau$'s y $\bar\tau$'s (de cualquier manera)
- simular la teoría con los cortes.
- encontrar el valor esperado de la O.
Si S=1, entonces usted acaba de obtener la función de partición en la superficie de Riemann (la función de partición de la corte, que está a sólo 1 en la simulación de la definición anterior, ya que en una simulación probabilística Z=1). Si usted simular un trivial operador O, usted encontrar la función de correlación de la O en la presencia de la corte.
Esto es lo que Cardy dos fórmulas decir.
El hecho de que se puede interpretar el giro campos como operadores locales es muy útil, y le permite encontrar OPE y resolver la superficie de Riemann problema. Pero las fórmulas que se dan son simplemente las definiciones, y la confusión está en el alto nivel de imagen de definición de estos. Espero que esto aclare todo, pero no está diciendo algo más o diferente que Cardy, excepto en diferentes palabras. Quizás esto haga clic en mejor.
