No sé si este tipo de pregunta es aceptable aquí, pero agradecería mucho la ayuda de alguien. Estoy a punto de empezar a escribir un trabajo semestral que necesitamos para conseguir el título de bachiller en nuestro país. Pero mi profesor no es experto en este campo en particular, así que me ha dicho que tendré que prepararlo todo yo sola principalmente :-(
Durante el curso de álgebra, en parte sobre UFD, PID y dominios euclidianos, encontré realmente interesantes las estructuras $\mathbb{Z}[\sqrt{s}]$ donde $s$ es un número entero no cuadrado. Las propiedades de la norma, los elementos irreducibles e invertibles, etc. También es bastante interesante su clasificación como UFD, PID, etc.
Mis preguntas son:
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¿Cuál debe ser el tema de mi trabajo?
Apenas conozco el tema así que no sé si se puede hacer de alguna manera en un tema entero - no sólo un trozo de algún tema más grande con el final inesperado. Tampoco puedo decidir si es suficiente / demasiado grande / demasiado pequeño tema - también hay otras extensiones de números enteros, también hay algo que se llama campos de números racionales que mis anillos parecen ser una parte de ... -
¿Cuál recomendaría que fuera el contenido de mi trabajo?
Un capítulo debe ser esa introducción básica a $\mathbb{Z}[\sqrt{s}]$ - propiedades de la norma, elementos invertibles, algoritmo para encontrar la factorización a elementos irreducibles, etc. Otra puede ser sobre clasificación de $\mathbb{Z}[\sqrt{s}]$ como UFD, PID, etc. Algunos hechos parecen fáciles - prueba de que $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ no es un PID, $\mathbb{Z}[i]$ es dominio euclidiano... Pero también hay algunos problemas sin resolver, así que sólo quiero estar seguro de que no estoy indagando en algo muy por encima de mi nivel.
También puedo centrarme en algún anillo en particular, como $\mathbb{Z}[i]$ si hay algo especialmente interesante en él.
¿Se le ocurre algún otro capítulo? -
¿Literatura? No hay casi nada en mi lengua al respecto. En inglés busqué en Google algunos libros clásicos como G. H. Hardy, E. M. Wright: Una Introducción a la Teoría de Números o D. S. Dummit, R. M. Foote: Álgebra abstracta , ambos libros tocan ligeramente el tema pero agradecería algo (básico/avanzado) más centrado para estudiar.
Supongo que aquí hay mucha gente con mucha mejor visión del tema así que agradezco cualquier comentario / recomendación por vuestra parte.
