Que es mayor entre (i) $\log_2 3$ y $\log _3 5$II $\log_2 3$ y $\log _3 11$.

Question

Que es mayor entre (i) $\log_2 3$y $\log _3 5$ (ii) $\log_2 3$ y $\log _3 11$.

Ensayo: uso desigualdad de AM-GM y obtener $$\dfrac{\log_e 2+\log_e 5}{2}>\sqrt{\log_e 2\cdot \log_e 5} \\ \implies \dfrac{\log _e10}{2}>\sqrt{\log_e 2\cdot \log_e 5} $ $ y no puedo proceder. Por favor ayuda.

Answer 1

(i) desde $5^2=25\lt27=3^3$ y $3^2=9\gt8=2^3$, $2\log_35\lt3\lt2\log_23$ por lo tanto, $\log_35\lt\log_23$.

(ii) desde $3\lt4=2^2$ y $11\gt9=3^2$, $\log_23\lt2\lt\log_311$.

Answer 2

% (Ii) $\log_311>\log_39=\log_3(3^2)=2$$\log_23<\log_24=\log_2(2^2)=2$