Demuestra que $\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$

Question

Demuestra que $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$

Dejar $y=e^x-1\implies e^x=y+1\implies x=\log(y+1)$ la evaluación es fácil.

Pero no puedo entender cómo expresar la función dada como una composición de dos funciones para que la siguiente regla se puede utilizar la operación límite se puede hacer.

Dejemos que $A\subset\mathbb R,f:A\to\mathbb R,g:D\to\mathbb R$ tal que $f(A)\subset D.$ Dejemos que $c$ sea un punto límite de $A$ y $\lim_{x\to c}f(x)=l.$ Si $l\in D$ y $g$ es cont en $l$ entonces $\lim_{x\to c}(gf)(x)=g(l)$ y si $l\notin D$ pero un punto límite de $D$ entonces $\lim_{x\to c}(gf)(x)=\lim_{y\to l}g(y).$

Answer 1

Comienza con $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\ldots$$ Esto significa que $$e^x - 1= x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\ldots$$ y que $$\frac{e^x - 1}x= 1+\frac {x}{2!}+\frac {x^2}{3!}+\ldots$$

Creo que puedes seguir a partir de aquí.

Answer 2

Otra forma de hacerlo es definir $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ al establecer $f(x)=e^x$ , entonces observa que $f(0) = 1$ en ese caso la derivada de $f$ en el punto $0$ puede estar dada por el límite:

$$f'(0)=\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1}{x}$$

En ese caso su límite es sólo $f'(0)$ que es $1$ desde $f'(0) = e^0$ . Por supuesto, esto sólo funciona cuando se sabe que $f'(x) = e^x$ . ¿Esto te ayuda de alguna manera?

Answer 3

Usa la regla de L'Hopital:

$$\frac{d}{dx}(e^x -1 ) = e^x$$

Y el denominador es $1$ . Llenando con el límite, da $e^0/1 = 1$ .

Answer 4

Tome $f:\mathbb R-\{0\}\to\mathbb R:x\mapsto e^x-1\\g:(-1,\infty)-\{0\}\to\mathbb R:x\mapsto\dfrac{x}{\log(x+1)}.$

Nota $\forall~x\in\mathbb R,~e^x>0\text{ i.e. } e^x-1>-1\text{ and }e^x=1\iff x=0.\text{ So image}(f)\subset\text{domain}(g).$ Ahora $gf:\mathbb R-\{0\}\to\mathbb R:x\mapsto \dfrac{e^x-1}{x}.$

El límite dado es $\displaystyle\lim_{x\to0}(gf)(x).$ $e^x-1$ siendo continua en $0,\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=0,$ un punto límite del dominio $(g)$ y $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}=1(\neq 0)\implies\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\log(1+x)}=1.$ Por lo tanto, el límite dado es $\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)=1.$

Answer 5

Yo lo haría utilizando la regla de L'Hopitals. Porque $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x}= \frac{0}{0}$ podemos tomar la derivada del numerador y del denominador individualmente, y luego volver a introducir 0 en la nueva ecuación. Después de tomar la derivada del numerador y del denominador tendremos $\lim_{x \to 0}\frac{e^x}{1}$ y a partir de aquí vemos por qué la respuesta es $1$ .