¿Topología complementaria?

Question

Deje que $(X, \mathscr {T})$ ser un espacio topológico, y definir una nueva topología $\mathscr {T}'$ en $X$ de tal manera que la colección de conjuntos cerrados $\mathscr {C}$ de la topología $\mathscr {T}$ forman una sub-base para $\mathscr {T}'$ . Vamos a referirnos a $\mathscr {T}'$ como la "topología complementaria" por conveniencia.

De hecho, desde que las intersecciones de los conjuntos cerrados se cierran de nuevo y desde $X \in \mathscr {C}$ la sub-base también cubre el espacio, así que la sub-base $\mathscr {C}$ sería una base para $\mathscr {T}'$ .

Tenía curiosidad por las propiedades de esta topología. Un pensamiento inicial fue que esta podría ser la topología discreta. Tomando por ejemplo la topología euclidiana estándar $( \mathbb {R}, \mathscr {T}_{E})$ si formamos la "topología complementaria", tenemos en nuestra base $\mathscr {C}_E$ que $\{x\} \in\mathscr {C}_E, \, \forall x \in\mathbb {R}$ . Ya que los conjuntos abiertos se forman a partir de las uniones de estos conjuntos, cualquier conjunto es abierto, por lo que $\mathscr {T}_{E}'= \mathscr {T}_{D}$ la topología discreta.

Esto no puede ser cierto en general ya que tomando por ejemplo un conjunto de tres puntos $\{1,2,3\}$ con la topología $\mathscr {T}=\{ \emptyset , \{1\},\{1,2\},\{1,2,3\}\}$ la topología complementaria está dada por $\mathscr {T}'=\{ \emptyset ,\{3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$ que no es ciertamente la topología discreta.

Sin embargo, en el segundo ejemplo tenemos que $( \mathscr {T}')'= \mathscr {T}$ .

Así que tengo curiosidad por saber si hay condiciones en la topología tales que tengamos $( \mathscr {T}')'= \mathscr {T}$ o $( \mathscr {T})'= \mathscr {T}_D$ ? ¿Hay un ejemplo simple donde ninguno de los dos se sostiene?

Por supuesto, si la topología fuera discreta en primer lugar, ambos se mantendrían.

Answer 1

Como la familia $\mathscr C$ de $\mathscr T$ -se cierra bajo intersecciones arbitrarias, de lo que se deduce que forman un base para la topología $\mathscr T'$ en $X$ .

Esto a su vez significa que $\mathscr T'$ consiste en las uniones de todas las subfamilias de $\mathscr C$ .

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Como Daniel Fischer menciona en un comentario, $\mathscr T' = \mathscr T_ \text {D}$ iff $\mathscr T$ es una T ₁ topología.

• Prueba. Claramente $\mathscr T'$ es discreto si cada uno de los botones $\{ x \}$ es $\mathscr T'$ -abierto. Supongamos que $x \in X$ es tal que $\{ x \}$ está abierto. Como $\mathscr T'$ es generado por $\mathscr C$ debe haber un $F \in \mathscr C$ de tal manera que $x \in F \subseteq \{ x \}$ lo que significa que $\{ x \} \in \mathscr C$ . Eso es, $\{ x \}$ es $\mathscr T$ - cerrado.

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Investigar cuando la igualdad $( \mathscr T')' = \mathscr T$ sostiene, observe que la inclusión $\mathscr T \subseteq ( \mathscr T')'$ siempre se mantiene, así que sólo tenemos que preocuparnos por la inclusión inversa $\mathscr T \supseteq ( \mathscr T')'$ .

Tenga en cuenta que si la familia $\mathscr C$ de $\mathscr T$ -cerrados se cierra bajo uniones arbitrarias, entonces $\mathscr T' = \mathscr C$ . De ello se deduce que en este caso tendremos $( \mathscr T')' = \mathscr T$ .

• Prueba. En este caso la familia $\mathscr C'$ de $\mathscr T'$ -cerrado es exactamente $\mathscr T$ que está claramente cerrado bajo uniones arbitrarias, y así - usando la observación anterior - $( \mathscr T')' = \mathscr C' = \mathscr T$ .

Supongamos ahora que $\mathscr C$ no se cierra bajo uniones arbitrarias. Entonces hay un $\{ F_i : i \in I \} \subseteq \mathscr C$ de tal manera que $E = \bigcup_ {i \in I} F_i \notin \mathscr C$ . Sin embargo $E$ debe ser $\mathscr T'$ -abierto, y por lo tanto es $( \mathscr T')'$ - cerrado. Como hemos demostrado $( \mathscr T')'$ -un conjunto cerrado que no es $\mathscr T$ -cerrado, debe ser que $( \mathscr T')' \neq \mathscr T$ .

Así que la igualdad $( \mathscr T')' = \mathscr T$ se mantendrá exactamente cuando $\mathscr C$ está cerrado bajo intersecciones arbitrarias. Esto define la clase de Alexandroff espacios .

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Así que si $\mathscr T$ no es ni T ₁ nore Alexandroff, entonces $\mathscr T' \neq \mathscr T_ \text {D}$ y $( \mathscr T')' \neq \mathscr T$ .

Un ejemplo relativamente simple de esto es el siguiente. Dejemos que $X = \mathbb R \times \{ 0 , 1 \}$ y darle la topología $\mathscr {T}$ donde los conjuntos abiertos son de la forma $U \times \{ 0 , 1 \}$ donde $U \subseteq \mathbb R$ está abierto en la topología euclidiana habitual en $\mathbb R$ .

• Como no hay ningún singleton cerrado, claramente $\mathscr T$ no es T ₁ .
• $\{ [ \frac 1n , 1] \times \{0,1\} : n \geq 1 \}$ es una familia de conjuntos cerrados cuya unión $\bigcup_n ( [ \frac 1n , 1] \times \{0,1\} ) = ( 0 , 1 ] \times \{0,1\}$ no está cerrado.

En realidad podemos computar las topologías $\mathscr T'$ y $( \mathscr T')'$ relativamente fácil.

• $\mathscr T'$ es la familia de todos $A \times \{ 0,1 \}$ para $A \subseteq \mathbb R$ .

• $( \mathscr T')' = \mathscr T'$ . (Nótese que cada $\mathscr T'$ -El juego abierto es también $\mathscr T'$ -cerrado, y y viceversa. y así la familia $\mathscr C'$ de $\mathscr T'$ -los conjuntos cerrados coinciden con $\mathscr T'$ . Como esto está cerrado bajo uniones arbitrarias, se deduce de una observación anterior que $( \mathscr T')' = \mathscr C' = \mathscr T'$ .)

Answer 2

Primero si $(X, \mathscr {T})$ es una topología finita (es decir. $| \mathscr {T}|< \infty$ ) entonces cualquier unión de conjuntos cerrados es una unión finita de conjuntos cerrados de modo que el conjunto de conjuntos cerrados se cierra por unión. De donde la topología $\mathscr {T}'$ que obtienes al tomar la topología generada por los conjuntos cerrados es en realidad el conjunto de conjuntos cerrados. De donde si $(X, \mathscr {T})$ es una topología finita que siempre se obtiene $( \mathscr {T}')'= \mathscr {T}$ . (este es un caso particular del espacio de Alexandroff, ver $major^4$ la respuesta de la gente).

Segundo, si $(X, \mathscr {T})$ es $T_1$ (por definición: todos los puntos están cerrados) entonces $\mathscr {T}'$ es $\mathscr {T}_D$ la topología discreta (este es el comentario de Daniel Fischer).

Por lo tanto, buscando un contra-ejemplo, necesitas $(X, \mathscr {T})$ una topología infinita, no $T_1$ . En particular $X$ debería ser infinito.

Toma $X:= \mathbb {N}$ y definir $\mathscr {T}$ diciendo que $A$ está abierto si $A \subseteq \mathcal {P}$ (los números primos) y $\mathcal {P}-A$ es finito. Esto es una topología. Además $2$ no es un punto cerrado.

Entonces el conjunto de conjuntos abiertos no siendo estables por intersección infinita (por ejemplo, podemos escribir el conjunto de número primo igual a $1$ mod $4$ como una intersección de conjuntos abiertos) se deduce que $\mathscr {T}'$ contendrá un conjunto que no está cerrado para $\mathscr {T}$ para que $( \mathscr {T}')' \neq\mathscr {T}$ .

Ahora tenemos que mostrar que $\mathscr {T}'$ no es la topología discreta. Ya que los conjuntos cerrados para $\mathscr {T}$ se incluyen en $\mathcal {P}^c$ se deduce que la topología generada por esos conjuntos no puede generar un conjunto que contenga $2$ en particular $\{2\} \notin \mathscr {T}'$ y la topología no puede ser discreta.