Demostrar que una función analítica, valor real en radios $[0, 1)$ $[0, e^{i\pi\sqrt 2})$, es constante en el disco unidad abierto

Question

Supongo que $f$ es analítica en el disco unidad abierto y real valorada en el % de radios $[0, 1)$y $[0, e^{i \pi \sqrt 2})$. Demostrar que $f$ es constante. No sé cómo solucionar el problema.

Answer 1

Prueba. Desde $f$ es analítica, podemos escribir que $$ f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_kz^k = a_0 + \sum_{k=1}^\infty a_kz^k $$ $a_0 = f(0) - $ real. Asumir que algunos $\exists k_0>0:a_{k_0} \neq 0$. Entonces $$ f(z) = a_0 + a_kz^{k_0} + O(z^{k_0+1}) $$ Ya que es un valor real en $[0,1)$ $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x) - a_0}{x^{k_0}} = a_{k_0} \in \mathbb{R}. $$ Ya que es un valor real en $[0,e^{i\pi\sqrt{2}})$ $t \in [0, 1)$ $$ f(te^{i\pi\sqrt{2}}) = a_0+a_{k_0}t^{k_0}e^{i\pi\sqrt{2}k_0}+O(t^{k_{0}+1}) $$ Para algunos $t_0$ $|O(t_0^{k_0+1})| < Ct^{k_0}$ (no quiero cálculo de esta constante $C$, pero tiene que ser menos de $|a_{k_0}e^{i\pi\sqrt{2}}-a_0|$), por lo tanto $f(t_0e^{i\pi\sqrt{2}}) \notin \mathbb{R}$ y con tener una contradicción con la suposición de que $a_{k_0} \neq 0$.

Edit. $e^{i\pi\sqrt{2}n} \in \mathbb{C} \backslash\mathbb{R}$ desde $\sqrt{2}$ es irracional.

Answer 2

He aquí otra prueba:

$f$ es analítica, de modo que podemos escribir: $$ f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n $$

Específicamente para $x \in [0,1)$: $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n = \sum_{n=0}^\infty Rea_nx^n + i\sum_{n=0}^\infty Ima_nx^n $$

Desde $f$ es real valorados en $[0, 1)$ obtenemos $x \in [0,1)$: $$ \sum_{n=0}^\infty Ima_nx^n = 0 $$

Este es un Tayolr serie con coeficientes reales de la real $0$ función y por lo $Ima_n$ deben $0$ (debido a la singularidad de la serie de Taylor) lo que significa que $a_n$ son todos los números reales.

Por eso, tenemos que $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ $a_n$ son reales.

Ahora para $z \in [0,e^{i\pi\sqrt{2}})$ escribimos $z = te^{i\pi\sqrt{2}}$ donde $t \in [0,1)$

Y luego: $$ f(z) = \sum a_nz^n = \sum a_n(te^{i\pi\sqrt{2}})^n = \sum a_nt^ne^{i\pi n\sqrt{2}} = $$ $$ \sum a_nt^n\cos\pi n\sqrt{2} + i\sum a_nt^n\sin\pi n\sqrt{2} $$

Desde $f$ es real valorados en $[0,e^{i\pi\sqrt{2}})$, e $a_n$ son reales obtenemos que para $t \in [0,1)$ $$ \sum a_n\sin\pi n\sqrt{2}t^n = 0 $$

Y a partir de aquí tenemos que $a_n\sin\pi n\sqrt{2} = 0$ todos los $n$. Para $n > 0$ debe ser ese $a_n=0$ pero $a_0$ puede o no ser $0$.

Así que en total tenemos que $f(z) = a_0$