¿Cuál es la distribución asintótica de $p^n$ (potencias de primos)?

Question

Sabemos por el teorema del número primo que $\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{n\,/\ln n} = 1$ Una aproximación aún mejor es $\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}{\int_2^n\frac{1}{\ln t}\mathrm{d}t} = 1$ .

¿Existe una fórmula similar que aproxime la distribución de los números naturales de la forma $p^n$ donde $p$ ¿es un primo? Es decir, una aproximación de $$\pi'(x)=\left|\,\Pi'\cap\{1,\ldots,x\}\,\right| \qquad\mbox{ where }\quad \Pi'=\{p^n\;|\;p\mbox{ is prime}, n\in\mathbb{N}\}$$

---

(Ya existe una pregunta que pregunta si $\lim_{n\to\infty}\frac{\pi'(n)}{n}=0$ pero me interesa una aproximación más precisa).

Answer 1

La misma asintótica se mantiene, y la explicación intuitiva para ello es que el número de potencias primos hasta $x$ son insignificantes en comparación con el número de primos hasta $x$ . De hecho, las pruebas habituales del teorema del número primo demuestran en realidad la asintótica para $\pi'$ primero, y luego se demuestra que éstas coinciden con la asintótica de $\pi$ .

Desde $\pi'(x)$ para un verdadero $x$ cuenta el número de primos $p$ hasta $x$ el número de cuadrados primos $p^2$ hasta $x$ el número de cubos primos $p^3$ hasta $x$ y así sucesivamente, podemos escribir $$\pi'(x)=\pi(x)+\pi(x^{1/2})+\pi(x^{1/3})+\cdots+\pi(x^{1/m})$$ donde $m=\log(x)+1$ . Ahora, utilizando el teorema de los números primos, obtenemos $$\pi'(x)-\pi(x)\sim x^{1/2}/\log(x^{1/2})+\cdots+x^{1/m}/\log(x^{1/m})$$ que puede ser acotado por encima de $x^{1/2}/\log(x^{1/2})\cdot (\log x+1)\leq x^{1/2}/\log(x^{1/2})\cdot 2\log x=4 x^{1/2},$ y por lo tanto $\pi'(x)=\pi(x)+O(x^{1/2})$ Así que $\pi'(x)$ es asintótica a $x/\log x$ .