Una pregunta a la primer generación de polinomio $x^2 -79x+1601$.

Question

En el libro de Tom Apostol Teoría analítica del número, el autor dice $x^2 -79x+1601$ da números primos $x=0,1,...,79$.

Podemos ver esto poniendo valores. ¿Hay alguna otra manera de conocer esta propiedad de esta expresión? ¿Cómo podemos construir más expresión con esta propiedad?

Answer 1

Hay una buena cantidad de repetición que participan aquí. Si tomamos la traducción pura $$ x = t + 40 $$ el polinomio se convierte en $$ t^2 + t + 41 $$ que es principal para $0 \leq t \leq 39.$ es también el primer para $-40 \leq t \leq -1,$ sin embargo, estos números primos son exactamente los mismos números primos como thos no negativos $t.$

La razón por la que sabemos que este polinomio ($t$) da a todos aquellos que el primer valor es $41$ es primo, $4 \cdot 41 - 1 = 163$ es también el primer y el positivo binario forma cuadrática $$ x^2 + xy + 41 y^2$$ is of class number one, meaning all forms of that discriminant are ($SL_2 \mathbb Z$) equivalent to it. The basic facts here were known to Gauss, an elementary proof of if and only if was provided by Rabinowitz in 1913. See my proof at Is the notorious $n^2 + n + 41$ el primer generador de la última de su tipo?

Para aquellos que no saben nada acerca de la formas cuadráticas binarias, esta es una tabla de la Rosa, Un Curso en Teoría de números La orden de triple $A,B,C$ se refiere a la (positivo) una forma cuadrática $$ f(x,y) = A x^2 + B xy + C y^2. $$ See how there is just one entry for discriminant $-163.$