Demostrar por inducción: $8^n - 3^n$ es divisible por $5$ para todos $n \geq 1$

Question

Demostrar por Inducción que para todo $n \geq 1$ tenemos

$$8^n - 3^n \text{is divisible by 5} ...(*)$$

Mi prueba hasta ahora

Paso 1: Para $n=1$ tenemos $8^1 - 3^1 = 8 - 3 = 5$ que es divisible por 5.

Paso 2: Supongamos que (*) es cierto para algunos $n=k\geq 1$ es decir $8^k-3^k$ es divisible por 5.

Paso 3: Demostrar que (*) es cierto para $n=k+1$ Es decir $8^{k+1} - 3^{k+1}$ es divisible por 5. Tenemos

$$8^{k+1}-3^{k+1} = 8*8^k - 3*3^k$$

¿Alguien puede explicar la siguiente expansión lógica?

Actualización:

$$8^{k+1}-3^{k+1} = 8*8^k - 3*3^k = 5*8^k + 3*8^k - 3*3^k = 5*8^k + 3(8^k - 3^k)$$

Ahora podemos decir que $5*8^k$ es divisible por 5 ya que tiene la forma $5*p$ donde $p$ es un número entero $\geq 1$

Y se supone que $8^k-3^k$ es divisible por $5$ entonces $3(8^k-3^k)$ es divisible por $5$ lo que significa que tiene la forma $5p$

por lo que reducimos la expresión a $$5p+5p = 5(p+p)$$

que es de la forma $5p$ que es divisible por $5$ .

¿Es correcta mi prueba?

Answer 1

Hay, más o menos, una forma "estándar" de escribir estas pruebas de divisibilidad que implican la inducción. Dadas tus recientes preguntas sobre la inducción, te animo a que le eches un vistazo a este post sobre cómo escribir una prueba de inducción clara --creo que te obligaría a construir pruebas claras y también te obligaría a saber qué estás haciendo y por qué en cada paso. Dicho esto, mira si la siguiente prueba tiene sentido (voy a escribirla usando la plantilla proporcionada en el post enlazado arriba):

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Para todos $n\geq 1, 8^n-3^n$ es divisible por $5$ eso es, $5\mid(8^n-3^n)$ y esta notación significa simplemente que " $5$ divide $8^n-3^n$ ."

Prueba . Para $n\geq 1$ , dejemos que $S(n)$ denota el enunciado $$ S(n):5\mid(8^n-3^n)\iff 8^n-3^n=5m, m\in\mathbb{Z}. $$ Caso base ( $n=1$ ): $S(1)$ dice que $5\mid (8^1-3^1)$ y esto es cierto (todo lo que está diciendo es que $5$ divide $5$ y eso es claramente cierto).

Paso inductivo: Arreglar algunos $k\geq1$ y asumir que $$ S(k):5\mid(8^k-3^k)\iff 8^k-3^k=5\ell, \ell\in\mathbb{Z} $$ es cierto. Lo que hay que demostrar es que $S(k+1)$ sigue donde $$ S(k+1):5\mid(8^{k+1}-3^{k+1})\iff 8^{k+1}-3^{k+1}=5\eta, \eta\in\mathbb{Z}. $$ Empezando por el lado izquierdo de $S(k+1)$ , \begin{align} 8^{k+1}-3^{k+1}&= 8(8^k)-3(3^k)\tag{law of exponents}\\[0.5em] &= (8^k-3^k)8+5(3^k)\tag{manipulate}\\[0.5em] &= (5\ell)8+5(3^k)\tag{by $S(k)$, the ind. hyp.}\\[0.5em] &= 5(8\ell+3^k)\tag{factor out the $5$}\\[0.5em] &= 5\eta\tag{$\eta=8\ell+3^k, \eta\in\mathbb{Z}$} \end{align} terminamos en el lado derecho de $S(k+1)$ completando el paso inductivo.

Por inducción matemática, la proposición $S(n)$ es cierto para todos los $n\geq1$ . $\blacksquare$

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¿Tiene todo esto sentido? Cerca del final de su propia prueba, usted escribe que $5(p+p)$ es de la forma $5p$ lo cual no es realmente cierto. La clave está en darse cuenta de cómo generalizar como arriba, donde se puede usar cualquier número de símbolos siempre que se haga de forma efectiva. No dudes en comentar si algún paso no está claro.

Answer 2

Continúa así:

$8 \cdot 8^k - 3 \cdot 3^k = (5+3) \cdot 8^k - 3 \cdot 3^k = 5 \cdot 8^k + 3 \cdot (8^k - 3^k)$

Answer 3

Sugerencia: tenga en cuenta que $8=5+3$ y luego el factor.

Answer 4

Por el teorema del binomio, $8^n=(5+3)^n=5a+3^n$ .

La inducción se utiliza para demostrar el teorema del binomio.