Segunda pregunta de la lógica de orden.

Question

Estoy leyendo Michael Potter libro "la Teoría de conjuntos y su Filosofía" y donde él explica por qué eligió el uso de primer orden predicado de cálculo con la identidad en lugar de segundo orden de la lógica, de la razón sobre los conjuntos, no es este párrafo de la página 13 donde necesito alguna aclaración acerca de lo que él está diciendo acerca de la lógica de segundo orden. El párrafo es el siguiente:

Es sin duda significativo, sin embargo, que una formalización de la lógica de primer orden está disponible en todos los. Esto marca un fuerte contraste entre los niveles de la lógica, ya que en el segundo caso, solo las reglas de formación son completamente formalizable, no las reglas de inferencia: es una consecuencia de Gödel primer teorema de la incompletitud de que para cada sistema de reglas formales, podríamos proponer la existencia de un segundo-orden lógico de inferencia que podemos reconocer como válido que no es justificado por las que el sistema de reglas.

Mis preguntas: 1) ¿Cuál es qué entendemos por la formación de las normas y las reglas de inferencia de la lógica? I. e. ¿cuál es la diferencia entre los dos tipos de reglas?

2) Qué entiende por "...para cada sistema de reglas formales podríamos proponer hay un segundo-orden lógico de inferencia que podemos reconocer como válida la que se no se justifica por el sistema de reglas". I. e. ¿cómo podemos reconocer algo como válido si no es justificado por las lógicas de un sistema de reglas?

Answer 1

Aquí está la explicación de la segunda parte. Supongamos que tenemos eficaz, conjunto de sonidos de $I$ de finitary reglas de inferencia para un segundo orden de la teoría de conjuntos, decir $\text{ZFC}^2$ para la concreción.

Podemos igualmente view $I$ como un conjunto de reglas de inferencia para dos clasifican teoría de la $T$ en el primer orden semántica de la que tiene exactamente la misma sintaxis que $\text{ZFC}^2$. La única diferencia es que en esta teoría no podemos garantizar que las variables de clase cuantificar encima de todas clases, como podemos en segundo orden semántica. Pero desde un punto de vista de la sintaxis y provability, son idénticos.

Por el teorema de la incompletitud, la sentencia de Gödel $\phi$ $T$ es verdadera en el modelo estándar de $T$, pero no es demostrable en $I$ (*). Por lo tanto, $\phi$ es también cierto en el modelo único de $\text{ZFC}^2$, en segundo orden, la semántica, porque esto es exactamente el modelo estándar de la $T$. Por lo tanto $I$ no era un completo conjunto de reglas de inferencia para $\text{ZFC}^2$ en segundo orden semántica, porque hay una frase que $\phi$ que es cierto, pero no es demostrable en $\text{ZFC}^2$ usando las reglas en $I$.

La forma en que reconocemos $\phi$ es cierto es de la misma manera que reconocemos la sentencia de Gödel de cualquier otra teoría verdadera para ser verdad. La sentencia de Gödel es sólo un aritmética declaración que dice que una determinada prueba no existe, y el hecho de que la prueba no existe en virtud de los supuestos que hemos hecho ya en el comienzo de la prueba.

(*): Como es generalmente establecido, el teorema de la incompletitud sólo se aplica a las diferentes teorías con un conjunto fijo de reglas de inferencia. Sin embargo, la prueba es fácil de generalizar a permitir no sólo una arbitraria coherente y efectivo de la teoría, sino también una arbitraria eficaz conjunto de sonidos de finitary las reglas de inferencia.

Answer 2

Las reglas de formación son las reglas que nos dicen si una secuencia de símbolos es una fórmula ("bien formada").

La inferencia lógica de segundo orden que es el razonamiento que nos indica que la sentencia de Gödel construida a partir de los axiomas y reglas de inferencia es cierto en los números naturales.

Answer 3

Yo sería más feliz si la última frase de la cita había dicho que "la inferencia es válida" en lugar de "inferencia que podemos reconocer como válido". El último trae nuestra capacidad de reconocimiento en la imagen, y los desacuerdos pueden surgir de allí. Un formalista bien podría dicen ser capaces de reconocer como válido sólo aquellas inferencias que se puede demostrar en un determinado sistema formal.

Como Carl Mummert señala en una edición a su respuesta, su explicación depende de nuestro conocimiento, que el sistema de $I$ (o, equivalentemente,$T$) es el sonido (o al menos consistente), por lo que no funciona para un formalista, que insiste en el reconocimiento de que sólo lo que es deducible anual en $I$.

En contraste, si acabamos de decir que la inferencia es válida, en lugar de que se puede reconocer como tal, luego de Carl explicación está muy bien. El formalista de la denegación de reconocimiento a cierta la afirmación correcta, no por ello son incorrectos. En algo más matemática y menos polémico forma: es un teorema de ZFC (y de mucho más débil de los sistemas) que el conjunto de validez de segundo orden, las inferencias no es recursivamente enumerable y por lo tanto no pueden ser generados por cualquier recursiva del sistema formal de reglas de inferencia.

Answer 4

1) Por "las reglas de formación", que significa las reglas que le indican cuando una cadena de símbolos, que cuenta como un bien formado fórmula o una frase.

Por "reglas de inferencia", se refiere a como en un sistema a prueba. Hay una serie de pruebas diferentes sistemas disponibles para la lógica de primer orden, por ejemplo axiomático de Hilbert sistemas, Fitch estilo de deducción natural de los sistemas, sequent cálculos, etc. (Estoy asumiendo que usted está familiarizado con algunos de estos?) Todos estos sistemas están sonido , y (más importante) completa de primer orden semántica, es decir, un conjunto de oraciones $\Gamma$ tiene un modelo si y sólo si $\Gamma$ es consistente (es decir, no hay ninguna prueba de algunas frases de $\Gamma$ a una contradicción). Sin embargo...

2) de Segundo orden de la lógica, por el contrario, no tiene ningún tipo de prueba de sistema. Cualquier prueba de sonido del sistema que usted propone para los de segundo orden, lógica, intrínsecamente incompleto, es decir, existirá un conjunto de oraciones $\Gamma$ a partir de la cual usted no puede deducir una contradicción, sin embargo, que no tienen ningún modelo. (Dicho de otra manera: hay algunos $\Gamma$ $\varphi$ tal que $\Gamma \vDash \varphi$ pero $\Gamma \not\vdash \varphi$.)

Potter punto aquí es que no es cierta tal conjunto de oraciones en segundo orden, la lógica, la cual es unsatisfiable pero coherente; en realidad no es un comentario sobre lo que podemos o no podemos reconocer a ser válido.