Separación de variables, eigenfunciones del operador Dirac

Question

Descargo de responsabilidad: No soy físico, soy un geómetra (¡y un estudiante!) tratando de aprender algo de física. Por favor, sea amable. ¡Gracias!

Al resolver la ecuación de Schrödinger para una partícula en un potencial esférico, parece común separar las variables en componentes angulares y radiales. La evolución angular puede entonces expresarse en términos de funciones propias del operador Laplace-Beltrami $ \Delta $ en la esfera, es decir, los armónicos esféricos. (Tengo entendido que estas eigenfunciones o eigenestados también tienen algún significado físico, a saber, que las eigenfunciones con el mismo valor propio corresponden a estados de igual energía).

Cuando se resuelve la ecuación de Dirac (de nuevo con un potencial esférico) se espera una historia similar: separar en componentes angulares y radiales y escribir la evolución angular en términos de las eigenfunciones del operador Dirac de Riemann. $D$ en la esfera. Y, se esperaría que estas eigenfunciones tuvieran una interpretación física similar al caso no relativista (después de todo, lo único que cambiamos fue la relación energía-momento).

Sin embargo, las referencias que estoy encontrando en la ecuación de Dirac con las soluciones de escritura de potencial central en términos de la espirales esféricas $ \Omega $ que son en sí mismas funciones simples de los armónicos esféricos $Y_l^m$ . Esta situación me parece impar porque, aunque las funciones propias de $D$ son también funciones propias de $ \Delta $ lo contrario no es cierto. En particular, $D$ tendrá valores propios tanto positivos como negativos, y así los espacios propios con igual valor pero signo opuesto se "mezclan" cuando cuadramos $D$ (recuerde que en, digamos, Euclidiano $R^3$ , $D^2= \Delta $ ). No estoy seguro de la interpretación física, porque no entiendo el significado físico de las funciones propias del operador Dirac.

Aquí hay algunas preguntas más concretas:

• ¿qué hacen las funciones propias de la $D$ representar físicamente?
• ¿por qué se utilizan los armónicos esféricos para la separación de las variables en lugar de las funciones propias de $D$ ?
• Alternativamente, ¿hay casos en los que las eigenfunciones de $D$ se usan para resolver la ecuación de Dirac?

Se aprecian las referencias pedagógicas. Gracias.

Answer 1

$ \sqrt {n} \sup_x |F_n-F|= \sup_x | \frac {1}{ \sqrt {n}} \sum_ {i=1}^nZ_i(x)| $

donde $Z_i(x)=1_{X_i \leq x}-E[1_{X_i \leq x}]$

por CLT tienes $G_n= \frac {1}{ \sqrt {n}} \sum_ {i=1}^nZ_i(x) \rightarrow \mathcal {N}(0,F(x)(1-F(x)))$

esta es la intuición...

puente browniano $B(t)$ tiene una variación $t(1-t)$ http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge reemplazar $t$ por $F(x)$ . Esto es para uno $x$ ...

También hay que comprobar la covarianza y por lo tanto sigue siendo fácil de mostrar (CLT) que para ( $x_1, \dots ,x_k$ ) $(G_n(x_1), \dots ,G_n(x_k)) \rightarrow (B_1, \dots ,B_k)$ donde $(B_1, \dots ,B_k)$ es $ \mathcal {N}(0, \Sigma )$ con $ \Sigma =( \sigma_ {ij})$ , $ \sigma_ {ij}= \min (F(x_i),F(x_j))-F(x_i)F(x_j)$ .

El difícil parte es mostrar que la distribución de la supremacía del límite es la supremacía de la distribución del límite... Entender por qué sucede esto requiere alguna teoría de procesos empíricos, leyendo libros como van der Waart y Welner (no es fácil). El nombre del Teorema es Teorema de Donsker http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

Answer 2

Puede haber un poco de confusión en la pregunta aquí.

[Sáltese todo esto abajo hasta el próximo comentario entre corchetes.]

Primero recuerde que $ \mathcal {so}(3)$ tiene representaciones que se integran a las representaciones de $SU(2)$ en lugar de $SO(3)$ y estos son los giros "medio integrales". De la misma manera para $ \mathcal {so}(3,1)$ y $SU(2) \times SU(2)$ y $SO(3,1)$ respectivamente.

Ahora, para un múltiple con métrica de Lorenz, una representación de $ \mathcal {so}(3,1)$ indica de qué tipo de partícula/objeto/tensor/espínculo estás hablando. La representación te dice cómo transformar el objeto/sección cuando cambias de coordenadas. (N.B.: ya que estamos hablando de haces asociados al haz de la estructura, el cambio de coordenadas induce un cambio de trivialización del haz. Normalmente, los dos conceptos son independientes.) Más específicamente, los tensores corresponden a representaciones de "espín integral", por ejemplo, la representación cuatridimensional es vectores, mientras que la representación antisimétrica de 6 dimensiones describe dos formas (como las intensidades de campo).

Así que los espirales son secciones de paquetes que corresponden a representaciones de $ \mathcal {so}(3,1)$ que se integran a una representación de $SU(2) \times SU(2)$ . En la práctica, para diferenciar covariablemente un objeto de este tipo, se puede hacer lo siguiente. La conexión Levi-Civita ya te da un elemento de $ \mathcal {so}(3,1)$ (una matriz) para cada índice tangencial. Además tienes una representación de $ \mathcal {so}(3,1)$ así que actúas con este elemento de $ \mathcal {so}(3,1)$ por su representación. De esto se tratan las matrices gamma.

[Oy, esto se está haciendo demasiado largo.]

Ahora, aquí está la cosa: las representaciones de los espinores se descomponen en diferentes componentes irreductibles, y el operador Dirac mapea una representación (quiralidad positiva) en otra (quiralidad negativa)! Es decir, mapea secciones de un paquete de espinores en secciones de otro. Por supuesto que se puede observar el operador Dirac en la suma de estos haces, pero los eigenvectores no tienen una interpretación física evidente (son de quiralidad mixta). En el espacio plano, el cuadrado del operador Dirac es un múltiplo del endomorfismo de identidad del haz, de modo que los eigenvalores tienen perfecto sentido y pueden escribirse en términos de funciones multiplicadas por los elementos básicos (globales) de los espinores.