Una pregunta que emerge de la lectura de Schummer, J., & Vohra, R. V. (2002). La estrategia de la prueba de Ubicación en una Red. Revista de Teoría Económica, 104(2), 405-428.
La configuración es la siguiente:
- Un conjunto finito de agentes de $N$ indexados por $i=1,...,n$.
- Una red representada por un gráfico de $G$ en el que el tomador de decisiones debe decidir la ubicación de una instalación, teniendo preferencias individuales en cuenta.
- Un grafo es un cerrado, conectado subconjunto de algún espacio euclidiano, $G\subseteq \mathbb{R}^k$, para $k\geq 1$. $G$ se compone de la unión de las curvas de longitud finita. Las curvas se denominan "bordes" y cada una de las dos extremidades son llamados "vértice". En este contexto, el conjunto de posibles ubicaciones $G$ es llamado el conjunto de alternativas.
EDIT : Schummer y Vohra realidad impone que las gráficas ser "la unión de un finito número de (cerrado) de las curvas de finito de longitud". Este es el punto que me he perdido y las reglas de la especie de contra ejemplos que he propuesto (ver más abajo).
- Un camino entre el $x,y \in G$ es un mínimo conectado subconjunto de $G$ contiene $x$$y$. La distancia entre la $x$ y $y$, $d(x,y)$ es la mínima ruta que une los dos puntos.
- Cada agente de $i$ cuenta con una completa preferencias de relación sobre el conjunto de alternativas representadas por la función de utilidad de $u_i : G \rightarrow \mathbb{R}$. Un perfil de preferencias se denota $U^n=\{u_1,...,u_n\}$. Consideramos que solo alcanzó un máximo de preferencias representadas por la función de utilidad de $u_i(x) = -d(p_i,x)$ donde $p_i$ es el pico de agente de $i$'s de las preferencias. Deje $\mathcal{U}^{SP}$ ser el dominio de un solo pico de perfiles de preferencia. Se denota un pico perfil de $P^n=(p_1,...,p_n)$ $\mathcal{P}$ el dominio del pico de perfiles.
- Buscamos regla de elección social (SCR), que es una función de $f : \mathcal{U}^{SP}\rightarrow G$ asociando cada perfil de preferencias con una de las alternativas viables. Dada la caracterización de la función de utilidad, para cualquier SCR existe un equivalente SCR con $\mathcal{P}$ dominio $f : \mathcal{P}\rightarrow X$.
- El SCR están obligados a ser a (para cada una de las alternativas $x\in G$ existe un perfil de $P$ tal que $f(P)=x$) y a statisfy estrategia-impermeabilidad:
- El SCR están obligados a ser a (para cada una de las alternativas $x\in G$ existe un perfil de $P$ tal que $f(P)=x$) y a statisfy estrategia-impermeabilidad:
Tengo un problema con el Lema 1 en el documento, que establece que si $f$ satisface estrategia-impermeabilidad y $f(p)=x$ $f(p_i',p_{-i})=x$ si $p_i'$ se hizo lo suficientemente cerca de $x$.
Yo no estoy seguro de conseguir lo $d(p_i , x) \leq d( p_i , y)$ $d(p_i,y)\leq d(p_i,x)$ alcanzar el resultado deseado. Esto es evidente en una línea (una muy intuitiva, la prueba se puede encontrar en la Frontera, K., & Jordan, J. (1983). Sencillo elecciones, la unanimidad y el fantasma de los votantes. La Revisión de Estudios Económicos, 50(1), 153-170. Recuperado de http://restud.oxfordjournals.org/content/50/1/153.short). Pero aquí estamos en un gráfico multidimensional ($G \subseteq \mathbb{R}^k$). No podemos tener los siguientes tipos de contra-ejemplos:
No importa cuán pequeño $\epsilon>0$ está hecho, no siempre hemos optado por una de las $p_i'\in[p_i,x]$$d(p_i',x)<\epsilon$, el gráfico como en la imagen que la estrategia de impermeabilidad se conserva sino $f(p_i',p_{-i})\neq x$?
¿Alguien a ver qué me estoy perdiendo?
