Un submódulo libre de un módulo libre que tiene mayor rango el submódulo

Question

Deje que $R$ ser un anillo conmutativo, y dejar $N \leq M$ ser $R$ -módulos. Entonces, supongamos $M$ y $N$ son libres sobre $R$ si $R$ es un dominio integral, entonces -considerando los módulos de fracción sobre el campo de cociente de R- $$ \text {rank}_R N \leq \text {rank}_R M$$ Sin embargo, me pregunto cuál es el caso cuando $R$ no es un dominio integral, ¿podemos garantizar la desigualdad anterior? ¿O hay ejemplos de cómo eso no se logra en general?

Observación: Siempre que $ \text {rank}_RM=1$ Sé que esa afirmación es cierta, ya que $$M \cong R$$ Y en ese caso, sabemos que cada libre $R$ -submódulo de $R$ es cero o un ideal principal generado por un elemento divisor no cero, por lo que obtenemos la desigualdad del deseo.

Nota: Para mí, el anillo y el anillo unitario son la misma cosa.

Answer 1

La respuesta es sí: le aconsejo que mire la pregunta del modus operandi http://mathoverflow.net/questions/30860/ranks-of-free-submodules-of-free-modules donde se pueden encontrar varias pruebas.

Sin embargo, si está interesado en el caso no conmutativo, existe la siguiente noción: un anillo $R$ se dice que tiene la propiedad IBN (número de base invariable) si $R_R^n \cong R_R^m$ implica $n=m$ por cada número entero positivo $n,m$ . Bueno, no existen los anillos IBN. Además, es posible encontrar un anillo $R$ y un $R$ -módulo $M_R$ de tal manera que $M_R \cong M_R^n$ para cada $n \geq 1$ . Esto le da ejemplos de módulos isomórficos de diferente "rango" (de hecho, el rango está bien definido sólo para los anillos conmutativos). Espero no haber divagado demasiado.