Encontrar una norma que un subespacio denso

Question

Supongamos que $V$ es un espacio vectorial (real o complejo) y $W$ es un subespacio de $V$.

¿Bajo qué condiciones existe una norma en $V$ lo $W$ un subespacio denso de $V$?

Que $V$ y $W$ tienen el misma dimensión suena razonable condición suficiente.

Answer 1

Esto es posible cuando los Hamel dimensiones de $V$ $W$ son el mismo infinito cardenal. Esto no es necesario, pero sólo suficiente, ya contables espacio tridimensional puede ser denso en un espacio de infinitas dimensiones: considerar la Hamel lapso de una contables de Hilbert.

Supongamos que este y denotan por $B$ $C$ las bases de $V$$W$, de modo que $C\subset B$. Partición de $C$ en una colección de conjuntos infinitos indexados por la diferencia de $D=B\setminus C$. Es decir, hemos $$ C=\bigcup_{d\D}C_d, $$ donde cada una de las $C_d$ es infinito y $C_d\cap C_{d'}=\emptyset$ siempre $d\neq d'$.

Para cada $d\in D$, vamos a $Hilb(d)$ ser el espacio de Hilbert con base ortonormales $C_d$. Podemos extender este Hilbert base a una base de Hamel. Elija uno de los nuevos vectores de la base y de identificar con $d$.

Consideremos ahora el espacio vectorial $$ X=\oplus_{d\D}Hilb(d). $$ Esta es una normativa espacio. La Hamel lapso de $C_d\cup\{d\}$ está contenido en $Hilb(d)$ y el espacio $V$ tiene la base de Hamel $B=\bigcup_{d\in D}C_d\cup\{d\}$. Esto hace que $V$ naturalmente un subespacio de $X$ le da una norma. La Hamel lapso de $C_d$ es denso en $Hilb(d)$, lo $W$ es denso en $X$. Por lo tanto, $W$ es denso en $V$.