En este enlace , alguien le preguntó cómo demostrar rigurosamenteque $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n = e^x. $$
Lo bueno intuitiva argumentos existen para esta afirmación? Posteriormente edita: . . . donde $e$ se define como la base de una función exponencial igual a su propia derivada.
Voy a publicar mi propia respuesta, pero eso no detendrá a cualquier otra persona a partir de la publicación de uno así.
Cómo se acerca, \begin{align} \frac{d}{dx}\left(\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \right) & \overset{\text{intimidate}}{=} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{d}{dx}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \\ & = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1} \\ & = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}{\left(1+\frac{x}{n}\right)} \\ & = \frac{\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)} \\ & = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \end{align} Ahora resolvemos la ecuación diferencial $f'(x) = f(x)$ con la condición de $f(0) = 1$.
Otra forma de verlo:
Vamos $$f_n(x) = \left(1+\frac{x}{n}\right)^n$$ and we are interested in $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$
Ahora,
$$f_n(x) f_n(y) = \left(1+\frac{x}{n}\right)^n\left(1+\frac{y}{n}\right)^n$$ $$ = \left(1+\frac{x+y +\frac{xy}{n}}{n}\right)^n = f_n\left(x+y +\frac{xy}{n}\right)$$
Así como $n \to \infty$, probablemente tiene que
$$f(x)f(y) = f(x+y)$$
y por lo que podemos esperar $f(x)$ a ser exponencial.
Si usted tiene acceso a la energía de la serie de $e^x$ y el teorema del binomio, a continuación, puede ver que debido a que el lado izquierdo es
$$1+\binom{n}{1}\frac{x}{n}+\binom{n}{2}\frac{x^2}{n^2}+\binom{n}{3}\frac{x^3}{n^3}+\cdots$$
que es
$$1+\frac{n}{n}x+\frac{1}{2!}\frac{n(n-1)}{n^2}x^2+\frac{1}{3!}\frac{n(n-1)(n-2)}{n^3}x^3+\cdots$$
y el plazo por el término como $n\to\infty$,
$$1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$$
No estoy seguro de si esto es lo que están buscando, pero ciertamente no es una rigurosa prueba!
Este es un argumento riguroso, pero creo que lo consigue en una intuición.
En el corazón de este argumento es que $$f(x)=\frac{e^x}{1+x}$$ has the property that $f(0)=1$ and $f'(0)=0$, and therefore that $$\lim_{n\to\infty} f(x/n)^n = 1$$
Para llegar allí, vamos a utilizar un hecho clave.
El hecho clave acerca de este tipo de límite es que si $g(n)$ es una función de y $\lim_{n\to\infty} ng(n) = 0$, $$\lim_{n\to\infty}(1+g(n))^n\to 1$ $
Voy a probar este resultado clave más tarde. Básicamente se trata de un casi trivial resultado del teorema del binomio.
Ahora, si $f(0)=1$$f'(0)=0$$$\lim_{h\to 0}\frac{f(xh)-1}{h} = xf'(0)=0$$.
Dejando $h=1/n$, esto significa que $\lim_{n\to\infty} n(f(x/n)-1) = 0$. Dejando $g(n)=f(x/n)-1$, entonces, la clave de "hecho" demuestra que el $$\lim_{n\to\infty}f(x/n)^n = 1$$
Ahora bien, dado $f_1,f_2$ dos funciones diferenciables en$0$$f_1(0)=f_2(0)\neq 0$$f_1'(0)=f_2'(0)$, podemos definir a la $f(x)=\frac{f_1(x)}{f_2(x)}$, y ver que $f(0)=1$$f'(0)=0$. Esto muestra que: $$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{f_1(x/n)}{f_2(x/n)}\right)^n=\lim_{n\to\infty} f(x/n)^n=1$$
A continuación, vamos a $f_1(x)=e^x$ $f_2(x)=1+x$ a llegar a su límite.
Esencialmente, el hecho de que la derivada de $e^z$ $0$ $1$ significa que $e^z$ es "lo suficientemente cerca" a $1+z$ al $z$ es pequeño y nos permitirá usar nuestro "clave".
De regreso a probar nuestros "clave". Si $ng(n)\to 0$$n\to\infty$, utilizamos el teorema del binomio argumento. Al $|ng(n)|<1$ tenemos:
$$\begin{align}\left|(1+g(n))^n - 1\right| &\leq \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}\left|g(n)\right|^k\\ &\leq \sum_{k=1}^n n^k|g(n)|^k \leq \sum_{k=1}^\infty (n|g(n)|)^k\\&=\frac{n|g(n)|}{1-|ng(n)|} \end{align}$$
Por lo $(1+g(n))^n\to 1$ desde $\frac{ng(n)}{1-ng(n)}\to 0$.
La razón me dice el de arriba es un "hecho clave" es que si en lugar de definir $e^x$ $\lim(1+x/n)^n$ , con lo que podemos utilizar los "hechos esenciales" para mostrar que $e^{x+y}=e^xe^y$, que sigue desde $$\frac{(1+x/n)(1+y/n)}{1+(x+y)/n} = 1+O(1/n^2)$$
También podemos usarlo para mostrar que $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ por tener aproximaciones $\cos \frac x n = 1+O(1/n^2)$$\sin \frac{x}{n}=\frac{x}{n}+O(1/n^2)$.
Podemos probar esas aproximaciones para $\sin x$ $\cos x$ esencialmente geométricamente de la siguiente manera.
Tenemos que $\sqrt{2-2\cos \theta}$ es la longitud de la cuerda de$1+0i$$\cos \theta+i\sin \theta$, y por lo tanto que la longitud es menor que la longitud de los arcos de círculo, $\theta$, lo $0\leq 2-2\cos\theta \leq \theta^2$ o $|\cos \theta -1|=O(\theta^2)$.
También se puede mostrar geométricamente que $x\cos x\leq \sin x \leq x$, lo $$0\leq x-\sin x\leq x(1-\cos x)=xO(x^2)=O(x^3)$$
Que $\sin x\leq x$ puede ser visto por $\sin x$ es la distancia más corta desde $\cos x+i\sin x$ a la línea real, mientras que $x$ es la longitud del arco circular desde el mismo punto de la recta real.
La otra desigualdad es un poco más difícil. Podemos encontrar un camino de longitud $2\tan x$ $cos 2x + i\sin 2x$ $1+0i$ que es estrictamente fuera del círculo, excepto en los extremos, mostrando así que los $2\tan x \geq 2x$ o $\sin x\geq x\cos x$.
Con estas dos aproximaciones para las funciones trigonométricas, obtenemos, para fija $x$, $$\cos \frac{x}{n} +i\sin \frac{x}{n} = 1+\frac{ix}{n}+O(1/n^2)$$
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