Dominio de convergencia: $\{(z,w):|z|^2+|w|^2 < 1\}$

Question

Me gustaría una sugerencia para esto:

Exhiben una serie de energía variable dos cuyo dominio de convergencia es la bola de la unidad $\{(z,w):|z|^2+|w|^2 < 1\}$.

($z$ $w$ son números complejos.) Creo que no puede ser de la forma $\sum P(z,w)^n$ $P(z,w)$ Dónde está un polinomio. Pero estoy sin ideas.

Gracias.

Answer 1

Sugerencias:

1. Considerar la serie $\sum_{k=0}^\infty (z^2 + e^{ik} w^2)^k$.
2. Si $|z^2| + |w^2| = \rho< 1$ y $|z^2 + e^{ik} w^2| \leq \rho$ % todo $k$y, por tanto, la serie converge. Si $|z^2| + |w^2| > 1$ y $|z^2 + e^{ik} w^2| > 1$ para infinitamente muchos $k$ y la serie diverge.