Un sitio C con pullbacks es subcanonical (presheaves representables todos son gavillas) si y sólo si su codomain fibración $Arr(C) \to C$ es un prestack (todos hom-presheaves son poleas). ¿Hay un nombre común para un sitio web cuyo codomain fibración es una pila? La topología Canónica en un topos de Grothendieck tiene esta propiedad, como lo hace la topología coherente en un pretopos, la topología regular en una categoría exacta de Barr, la topología extensa en una categoría lextensive, etcetera.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Jeff Atwood
Puntos
31111
No tengo una respuesta a tu pregunta, pero voy a publicar lo de los pensamientos que tenía sobre ella. Tal vez algo de aquí va a ayudar a alguien a responder a la pregunta, o al menos ayudar a más personas a entender lo que está involucrado. Siento que ha salido tan largo.
Definiciones
(omita este a menos que sospeche que nos referimos a cosas diferentes "(pre)de la pila")
Un functor $F\to C$ es un fibrado categoría si para cada flecha $f:U\to X$ $C$ y cada objeto $Y$ $F$ se encuentra por encima del $X$, hay un cartesiano flecha $V\to Y$ $F$ se encuentra por encima del $f$ (ver Definición 3.1 de Vistoli notas). Esta flecha se determina hasta un único isomorfismo (por el sistema de propiedad), así que voy a llamar a $V$ "el" retroceso de $Y$ a lo largo de $f$ y tal vez denota $f^*Y$. Un fibrado categoría es aproximadamente la una de la categoría de "valores de presheaf (functor contravariante) en $C$".
Dado un objeto $X$$C$, vamos a $F(X)$ ser la subcategoría de objetos en $F$ se encuentra por encima del $X$, con morfismos son los morfismos en $F$ que se encuentran sobre la identidad de morfismos de $X$. Voy a llamar a $F(X)$ "fibra a $X$." Dado un morfismos $f:U\to X$$C$, vamos a $F(U\to X)$ "la categoría de bajada de datos a lo largo de $f$", cuyos objetos que consisten en un elemento $Z$ $F(U)$ y un isomorfismo $\sigma:p_2^*Z\to p_1^*Z$ (donde $p_1,p_2:U\times_XU\to U$ son las proyecciones) que satisface la costumbre cocycle condición por $U\times_XU\times_XU$ (ver Definición 4.2 de Vistoli notas). Una de morfismos en $F(U\to X)$ es una de morfismos $Z\to Z'$ $F(U)$ de manera tal que el siguiente cuadrado de viajes:
$\begin{matrix}
p_2^*Z & \xrightarrow{\sigma} & p_1^*Z \\
\downarrow & & \downarrow\\
p_2^*Z' & \xrightarrow{\sigma'} & p_1^*Z'
\end{de la matriz}$
Supongamos $C$ tiene la estructura de un sitio. Entonces decimos que la $F$ es un prestack (resp. pila) $C$ si por cualquier cubierta $U\to X$$C$, el functor $F(X)\to F(U\to X)$ dado por el retroceso es totalmente fiel (resp. una de equivalencia). Aproximadamente, un prestack es un "separados presheaf de categorías" y una pila es una "gavilla de categorías"$C$.
El dominio fibration (no a su pregunta, pero relacionados)
Considerar el dominio functor $Arr(C)\to C$$(X\to Y)\mapsto X$. Se puede comprobar que un cartesiano flecha $f:U\to X$ es una propiedad conmutativa de la plaza
$\begin{matrix}
U & \xrightarrow{f} & X \\
\downarrow & & \downarrow\\
Y & = & Y
\end{de la matriz}$
Si no he cometido un error,
- Este fibrado categoría es un prestack iff todas las portadas $U\to X$ es un epimorphism.
- Es una pila si además todas las portadas $U\to X$ es el coequalizer de la proyección de los mapas de $p_1,p_2:U\times_XU\to U$. Esta última condición es equivalente a decir que cada objeto $Y$ $C$ satisface la gavilla axioma con respecto a los morfismos $U\to X$. En particular, el dominio de fibration es una pila si y sólo si la topología es subcanonical.
El codominio fibration (tu pregunta)
Considerar el codominio functor $Arr(C)\to C$$(U\to X)\mapsto X$. Se puede comprobar que un cartesiano flecha sobre un morfismos $f:U\to X$ es un cuadrado cartesiano
$\begin{matrix}
V & \to & U \\
\downarrow & & \downarrow\\
Y & \xrightarrow{f} & X
\end{de la matriz}$
No es un resultado general que dice que el fibrado categoría de poleas en un sitio es en sí mismo una pila (yo suelo llamar a este resultado "descenso de las poleas en un sitio"). Si estás trabajando con el canónica de la topología en un topos (donde cada gavilla es representable), se desprende que el codominio fibration es una pila. Si la topología es subcanonical, los objetos son las poleas, de modo que el descenso de las poleas indica que el pullback functor es totalmente fiel (es decir, el codominio fibration es un prestack), pero cuando se "desciende" un representable gavilla, puede que ya no sea representable, por lo que el codominio fibration no puede ser una pila. En tu pregunta dices que ser un prestack es en realidad equivalente a la topología de ser subcanonical, pero no puedo ver la otra implicación (prestack⇒subcanonical).
Suponiendo que el codominio fibration es un prestack, diciendo que es una pila de aproximadamente dice que cuando el pegamento representable poleas a lo largo de una cubierta de "relación", obtendrá un representable gavilla, pero con la extraña condición de que la cubierta de "relación" que se inició con vino de una relación donde se podía pegamento para obtener una representable gavilla. Es decir, dado este diagrama, donde los cuadrados de la izquierda son cartesiano ($\Rightarrow$ está destinado a ser dos flechas hacia la derecha), se puede rellenar en el "?" para que el cuadrado de la derecha es cartesiano?
$\begin{matrix}
Z' & \Rightarrow & Z & \to & ?\\
\downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\
U\times_XU & \Rightarrow & U & \to & X
\end{de la matriz}$
De una forma más natural (para mí) la condición es pedir que la única poleas puede pegar juntas de representable poleas están ya representable. Es decir, si $R\Rightarrow U$ es un "revestimiento relación" (es decir, cada uno de los mapas de $R\to U$ es una cubierta y $R\to U\times U$ es una relación de equivalencia), entonces el cociente de la gavilla $U/R$ es representable. Yo llamaría a una página de "cerrado bajo encolado."
Por ejemplo, la categoría de esquemas con la topología de Zariski es cerrado bajo la pegadura (es el "Zariski encolado de cierre" de la categoría afín a los planes). La categoría algebraico de los espacios con la etale topología es cerrado bajo la pegadura (es el "etale encolado de cierre" de la categoría de afín a los planes). De hecho, creo que una estructura estándar teorema suave de los morfismos y un teorema de Artin (∃ fppf cubrir ⇒ ∃ suave cubierta) implica que la categoría de algebraica de los espacios con la fppf topología es cerrado bajo la pegadura.
